Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100737 / 97774
↖ ↑ ↗
← S 65.926313°
E 96.682434°		 ← 124.59 m → S 65.926313°
E 96.685181°		 →
↑
124.55 m
↓
↑
124.55 m
↓
S 65.927433°
E 96.682434°		 ← 124.58 m →
15 517 m²		 S 65.927433°
E 96.685181°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97774 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768566131591797 y=0.745960235595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768566131591797 × 217)
    floor (0.768566131591797 × 131072)
    floor (100737.5)     		tx = 100737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745960235595703 × 217)
    floor (0.745960235595703 × 131072)
    floor (97774.5)     		ty = 97774
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100737 / 97774 ti = "17/100737/97774"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100737/97774.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100737 ÷ 217
    100737 ÷ 131072     		x = 0.768562316894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97774 ÷ 217
    97774 ÷ 131072     		y = 0.745956420898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768562316894531 × 2 - 1) × π
    0.537124633789062 × 3.1415926535     		Λ = 1.68742680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745956420898438 × 2 - 1) × π
    -0.491912841796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.54538976995137
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68742680} λ = 1.68742680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54538976995137))-π/2
    2×atan(0.213228744866372)-π/2
    2×0.21008254879785-π/2
    0.420165097595701-1.57079632675     		φ = -1.15063123
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68742680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.682434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15063123 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.926313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100737 KachelY 97774 1.68742680 -1.15063123 96.682434 -65.926313
    Oben rechts KachelX + 1 100738 KachelY 97774 1.68747474 -1.15063123 96.685181 -65.926313
    Unten links KachelX 100737 KachelY + 1 97775 1.68742680 -1.15065078 96.682434 -65.927433
    Unten rechts KachelX + 1 100738 KachelY + 1 97775 1.68747474 -1.15065078 96.685181 -65.927433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15063123--1.15065078) × R
    1.95500000002014e-05 × 6371000     		dl = 124.553050001283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15063123--1.15065078) × R
    1.95500000002014e-05 × 6371000     		dr = 124.553050001283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68742680-1.68747474) × cos(-1.15063123) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.407911195559233 × 6371000     		do = 124.586578758459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68742680-1.68747474) × cos(-1.15065078) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.407893345908847 × 6371000     		du = 124.581127015781m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15063123)-sin(-1.15065078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407911195559233-0.407893345908847)×R²
    abs(1.68747474-1.68742680)×1.78496503863146e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.78496503863146e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.78496503863146e-05×40589641000000     		ar = 15517.2988584421m²