Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100736 / 97920
↖ ↑ ↗
← S 66.089364°
E 96.679688°		 ← 123.77 m → S 66.089364°
E 96.682434°		 →
↑
123.79 m
↓
↑
123.79 m
↓
S 66.090478°
E 96.679688°		 ← 123.76 m →
15 321 m²		 S 66.090478°
E 96.682434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768558502197266 y=0.747074127197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768558502197266 × 217)
    floor (0.768558502197266 × 131072)
    floor (100736.5)     		tx = 100736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747074127197266 × 217)
    floor (0.747074127197266 × 131072)
    floor (97920.5)     		ty = 97920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100736 / 97920 ti = "17/100736/97920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100736/97920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100736 ÷ 217
    100736 ÷ 131072     		x = 0.7685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97920 ÷ 217
    97920 ÷ 131072     		y = 0.7470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7685546875 × 2 - 1) × π
    0.537109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.68737887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7470703125 × 2 - 1) × π
    -0.494140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.5523885572959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68737887} λ = 1.68737887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5523885572959))-π/2
    2×atan(0.211741612357751)-π/2
    2×0.208659659871632-π/2
    0.417319319743264-1.57079632675     		φ = -1.15347701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68737887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.679688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15347701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.089364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100736 KachelY 97920 1.68737887 -1.15347701 96.679688 -66.089364
    Oben rechts KachelX + 1 100737 KachelY 97920 1.68742680 -1.15347701 96.682434 -66.089364
    Unten links KachelX 100736 KachelY + 1 97921 1.68737887 -1.15349644 96.679688 -66.090478
    Unten rechts KachelX + 1 100737 KachelY + 1 97921 1.68742680 -1.15349644 96.682434 -66.090478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15347701--1.15349644) × R
    1.94300000000425e-05 × 6371000     		dl = 123.788530000271m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15347701--1.15349644) × R
    1.94300000000425e-05 × 6371000     		dr = 123.788530000271m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68737887-1.68742680) × cos(-1.15347701) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.405311288708903 × 6371000     		do = 123.766677901569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68737887-1.68742680) × cos(-1.15349644) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.405293526139579 × 6371000     		du = 123.761253887342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15347701)-sin(-1.15349644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405311288708903-0.405293526139579)×R²
    abs(1.68742680-1.68737887)×1.77625693245087e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.77625693245087e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.77625693245087e-05×40589641000000     		ar = 15320.5594054914m²