Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100735 / 98691
↖ ↑ ↗
← S 66.933289°
E 96.676941°		 ← 119.67 m → S 66.933289°
E 96.679688°		 →
↑
119.65 m
↓
↑
119.65 m
↓
S 66.934365°
E 96.676941°		 ← 119.66 m →
14 317 m²		 S 66.934365°
E 96.679688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98691 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768550872802734 y=0.752956390380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768550872802734 × 217)
    floor (0.768550872802734 × 131072)
    floor (100735.5)     		tx = 100735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752956390380859 × 217)
    floor (0.752956390380859 × 131072)
    floor (98691.5)     		ty = 98691
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100735 / 98691 ti = "17/100735/98691"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100735/98691.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100735 ÷ 217
    100735 ÷ 131072     		x = 0.768547058105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98691 ÷ 217
    98691 ÷ 131072     		y = 0.752952575683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768547058105469 × 2 - 1) × π
    0.537094116210938 × 3.1415926535     		Λ = 1.68733093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752952575683594 × 2 - 1) × π
    -0.505905151367188 × 3.1415926535     		Φ = -1.58934790690296
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68733093} λ = 1.68733093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58934790690296))-π/2
    2×atan(0.204058633584536)-π/2
    2×0.201295028801531-π/2
    0.402590057603063-1.57079632675     		φ = -1.16820627
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68733093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.676941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16820627 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.933289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100735 KachelY 98691 1.68733093 -1.16820627 96.676941 -66.933289
    Oben rechts KachelX + 1 100736 KachelY 98691 1.68737887 -1.16820627 96.679688 -66.933289
    Unten links KachelX 100735 KachelY + 1 98692 1.68733093 -1.16822505 96.676941 -66.934365
    Unten rechts KachelX + 1 100736 KachelY + 1 98692 1.68737887 -1.16822505 96.679688 -66.934365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16820627--1.16822505) × R
    1.8779999999996e-05 × 6371000     		dl = 119.647379999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16820627--1.16822505) × R
    1.8779999999996e-05 × 6371000     		dr = 119.647379999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68733093-1.68737887) × cos(-1.16820627) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.391802633742281 × 6371000     		do = 119.666609345161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68733093-1.68737887) × cos(-1.16822505) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.391785355147522 × 6371000     		du = 119.66133201757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16820627)-sin(-1.16822505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391802633742281-0.391785355147522)×R²
    abs(1.68737887-1.68733093)×1.72785947589738e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.72785947589738e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.72785947589738e-05×40589641000000     		ar = 14317.4805730065m²