Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100733 / 97773
↖ ↑ ↗
← S 65.925193°
E 96.671448°		 ← 124.57 m → S 65.925193°
E 96.674194°		 →
↑
124.62 m
↓
↑
124.62 m
↓
S 65.926313°
E 96.671448°		 ← 124.56 m →
15 523 m²		 S 65.926313°
E 96.674194°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100733 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97773 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768535614013672 y=0.745952606201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768535614013672 × 217)
    floor (0.768535614013672 × 131072)
    floor (100733.5)     		tx = 100733
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745952606201172 × 217)
    floor (0.745952606201172 × 131072)
    floor (97773.5)     		ty = 97773
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100733 / 97773 ti = "17/100733/97773"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100733/97773.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100733 ÷ 217
    100733 ÷ 131072     		x = 0.768531799316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97773 ÷ 217
    97773 ÷ 131072     		y = 0.745948791503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768531799316406 × 2 - 1) × π
    0.537063598632812 × 3.1415926535     		Λ = 1.68723506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745948791503906 × 2 - 1) × π
    -0.491897583007812 × 3.1415926535     		Φ = -1.54534183305175
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68723506} λ = 1.68723506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54534183305175))-π/2
    2×atan(0.213238966636309)-π/2
    2×0.210092326010845-π/2
    0.42018465202169-1.57079632675     		φ = -1.15061167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68723506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.671448°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15061167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.925193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100733 KachelY 97773 1.68723506 -1.15061167 96.671448 -65.925193
    Oben rechts KachelX + 1 100734 KachelY 97773 1.68728299 -1.15061167 96.674194 -65.925193
    Unten links KachelX 100733 KachelY + 1 97774 1.68723506 -1.15063123 96.671448 -65.926313
    Unten rechts KachelX + 1 100734 KachelY + 1 97774 1.68728299 -1.15063123 96.674194 -65.926313
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15061167--1.15063123) × R
    1.95599999999185e-05 × 6371000     		dl = 124.616759999481m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15061167--1.15063123) × R
    1.95599999999185e-05 × 6371000     		dr = 124.616759999481m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68723506-1.68728299) × cos(-1.15061167) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.407929054183851 × 6371000     		do = 124.566044081637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68723506-1.68728299) × cos(-1.15063123) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.407911195559233 × 6371000     		du = 124.560590735771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15061167)-sin(-1.15063123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407929054183851-0.407911195559233)×R²
    abs(1.68728299-1.68723506)×1.78586246176726e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.78586246176726e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.78586246176726e-05×40589641000000     		ar = 15522.677030745m²