Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100728 / 98711
↖ ↑ ↗
← S 66.954802°
E 96.657715°		 ← 119.56 m → S 66.954802°
E 96.660462°		 →
↑
119.52 m
↓
↑
119.52 m
↓
S 66.955877°
E 96.657715°		 ← 119.56 m →
14 290 m²		 S 66.955877°
E 96.660462°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98711 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768497467041016 y=0.753108978271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768497467041016 × 217)
    floor (0.768497467041016 × 131072)
    floor (100728.5)     		tx = 100728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753108978271484 × 217)
    floor (0.753108978271484 × 131072)
    floor (98711.5)     		ty = 98711
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100728 / 98711 ti = "17/100728/98711"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100728/98711.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100728 ÷ 217
    100728 ÷ 131072     		x = 0.76849365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98711 ÷ 217
    98711 ÷ 131072     		y = 0.753105163574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76849365234375 × 2 - 1) × π
    0.5369873046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.68699537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753105163574219 × 2 - 1) × π
    -0.506210327148438 × 3.1415926535     		Φ = -1.59030664489536
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68699537} λ = 1.68699537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59030664489536))-π/2
    2×atan(0.203863088573035)-π/2
    2×0.20110729358184-π/2
    0.40221458716368-1.57079632675     		φ = -1.16858174
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68699537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.657715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16858174 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.954802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100728 KachelY 98711 1.68699537 -1.16858174 96.657715 -66.954802
    Oben rechts KachelX + 1 100729 KachelY 98711 1.68704331 -1.16858174 96.660462 -66.954802
    Unten links KachelX 100728 KachelY + 1 98712 1.68699537 -1.16860050 96.657715 -66.955877
    Unten rechts KachelX + 1 100729 KachelY + 1 98712 1.68704331 -1.16860050 96.660462 -66.955877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16858174--1.16860050) × R
    1.87599999998955e-05 × 6371000     		dl = 119.519959999334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16858174--1.16860050) × R
    1.87599999998955e-05 × 6371000     		dr = 119.519959999334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68699537-1.68704331) × cos(-1.16858174) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.391457155225727 × 6371000     		do = 119.561091313034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68699537-1.68704331) × cos(-1.16860050) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.391439892273592 × 6371000     		du = 119.555818763104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16858174)-sin(-1.16860050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391457155225727-0.391439892273592)×R²
    abs(1.68704331-1.68699537)×1.72629521346113e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.72629521346113e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.72629521346113e-05×40589641000000     		ar = 14289.6217640219m²