Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100725 / 97785
↖ ↑ ↗
← S 65.938634°
E 96.649475°		 ← 124.53 m → S 65.938634°
E 96.652222°		 →
↑
124.55 m
↓
↑
124.55 m
↓
S 65.939754°
E 96.649475°		 ← 124.52 m →
15 510 m²		 S 65.939754°
E 96.652222°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768474578857422 y=0.746044158935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768474578857422 × 217)
    floor (0.768474578857422 × 131072)
    floor (100725.5)     		tx = 100725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746044158935547 × 217)
    floor (0.746044158935547 × 131072)
    floor (97785.5)     		ty = 97785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100725 / 97785 ti = "17/100725/97785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100725/97785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100725 ÷ 217
    100725 ÷ 131072     		x = 0.768470764160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97785 ÷ 217
    97785 ÷ 131072     		y = 0.746040344238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768470764160156 × 2 - 1) × π
    0.536941528320312 × 3.1415926535     		Λ = 1.68685156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746040344238281 × 2 - 1) × π
    -0.492080688476562 × 3.1415926535     		Φ = -1.54591707584719
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68685156} λ = 1.68685156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54591707584719))-π/2
    2×atan(0.213116337731123)-π/2
    2×0.209975027693939-π/2
    0.419950055387878-1.57079632675     		φ = -1.15084627
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68685156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.649475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15084627 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.938634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100725 KachelY 97785 1.68685156 -1.15084627 96.649475 -65.938634
    Oben rechts KachelX + 1 100726 KachelY 97785 1.68689950 -1.15084627 96.652222 -65.938634
    Unten links KachelX 100725 KachelY + 1 97786 1.68685156 -1.15086582 96.649475 -65.939754
    Unten rechts KachelX + 1 100726 KachelY + 1 97786 1.68689950 -1.15086582 96.652222 -65.939754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15084627--1.15086582) × R
    1.95499999999793e-05 × 6371000     		dl = 124.553049999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15084627--1.15086582) × R
    1.95499999999793e-05 × 6371000     		dr = 124.553049999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68685156-1.68689950) × cos(-1.15084627) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.407714849962822 × 6371000     		do = 124.526609758802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68685156-1.68689950) × cos(-1.15086582) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.407696998598015 × 6371000     		du = 124.521157492496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15084627)-sin(-1.15086582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407714849962822-0.407696998598015)×R²
    abs(1.68689950-1.68685156)×1.78513648075862e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.78513648075862e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.78513648075862e-05×40589641000000     		ar = 15509.8295038859m²