Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100724 / 98669
↖ ↑ ↗
← S 66.909603°
E 96.646728°		 ← 119.78 m → S 66.909603°
E 96.649475°		 →
↑
119.77 m
↓
↑
119.77 m
↓
S 66.910680°
E 96.646728°		 ← 119.78 m →
14 347 m²		 S 66.910680°
E 96.649475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768466949462891 y=0.752788543701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768466949462891 × 217)
    floor (0.768466949462891 × 131072)
    floor (100724.5)     		tx = 100724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752788543701172 × 217)
    floor (0.752788543701172 × 131072)
    floor (98669.5)     		ty = 98669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100724 / 98669 ti = "17/100724/98669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100724/98669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100724 ÷ 217
    100724 ÷ 131072     		x = 0.768463134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98669 ÷ 217
    98669 ÷ 131072     		y = 0.752784729003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768463134765625 × 2 - 1) × π
    0.53692626953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.68680362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752784729003906 × 2 - 1) × π
    -0.505569458007812 × 3.1415926535     		Φ = -1.58829329511132
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68680362} λ = 1.68680362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58829329511132))-π/2
    2×atan(0.204273949743224)-π/2
    2×0.201501728898612-π/2
    0.403003457797223-1.57079632675     		φ = -1.16779287
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68680362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.646728°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16779287 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.909603°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100724 KachelY 98669 1.68680362 -1.16779287 96.646728 -66.909603
    Oben rechts KachelX + 1 100725 KachelY 98669 1.68685156 -1.16779287 96.649475 -66.909603
    Unten links KachelX 100724 KachelY + 1 98670 1.68680362 -1.16781167 96.646728 -66.910680
    Unten rechts KachelX + 1 100725 KachelY + 1 98670 1.68685156 -1.16781167 96.649475 -66.910680
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16779287--1.16781167) × R
    1.88000000000965e-05 × 6371000     		dl = 119.774800000615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16779287--1.16781167) × R
    1.88000000000965e-05 × 6371000     		dr = 119.774800000615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68680362-1.68685156) × cos(-1.16779287) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.392182948628521 × 6371000     		do = 119.78276730017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68680362-1.68685156) × cos(-1.16781167) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.392165654679099 × 6371000     		du = 119.77748528287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16779287)-sin(-1.16781167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392182948628521-0.392165654679099)×R²
    abs(1.68685156-1.68680362)×1.72939494226809e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.72939494226809e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.72939494226809e-05×40589641000000     		ar = 14346.6406710614m²