Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100723 / 98668
↖ ↑ ↗
← S 66.908526°
E 96.643982°		 ← 119.76 m → S 66.908526°
E 96.646728°		 →
↑
119.77 m
↓
↑
119.77 m
↓
S 66.909603°
E 96.643982°		 ← 119.76 m →
14 344 m²		 S 66.909603°
E 96.646728°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768459320068359 y=0.752780914306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768459320068359 × 217)
    floor (0.768459320068359 × 131072)
    floor (100723.5)     		tx = 100723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752780914306641 × 217)
    floor (0.752780914306641 × 131072)
    floor (98668.5)     		ty = 98668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100723 / 98668 ti = "17/100723/98668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100723/98668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100723 ÷ 217
    100723 ÷ 131072     		x = 0.768455505371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98668 ÷ 217
    98668 ÷ 131072     		y = 0.752777099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768455505371094 × 2 - 1) × π
    0.536911010742188 × 3.1415926535     		Λ = 1.68675569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752777099609375 × 2 - 1) × π
    -0.50555419921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.5882453582117
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68675569} λ = 1.68675569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5882453582117))-π/2
    2×atan(0.204283742237757)-π/2
    2×0.201511129123211-π/2
    0.403022258246422-1.57079632675     		φ = -1.16777407
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68675569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.643982°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16777407 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.908526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100723 KachelY 98668 1.68675569 -1.16777407 96.643982 -66.908526
    Oben rechts KachelX + 1 100724 KachelY 98668 1.68680362 -1.16777407 96.646728 -66.908526
    Unten links KachelX 100723 KachelY + 1 98669 1.68675569 -1.16779287 96.643982 -66.909603
    Unten rechts KachelX + 1 100724 KachelY + 1 98669 1.68680362 -1.16779287 96.646728 -66.909603
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16777407--1.16779287) × R
    1.87999999998745e-05 × 6371000     		dl = 119.7747999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16777407--1.16779287) × R
    1.87999999998745e-05 × 6371000     		dr = 119.7747999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68675569-1.68680362) × cos(-1.16777407) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.392200242439331 × 6371000     		do = 119.763062197839m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68675569-1.68680362) × cos(-1.16779287) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.392182948628521 × 6371000     		du = 119.757781324664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16777407)-sin(-1.16779287))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392200242439331-0.392182948628521)×R²
    abs(1.68680362-1.68675569)×1.72938108092824e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.72938108092824e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.72938108092824e-05×40589641000000     		ar = 14344.280564852m²