Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100719 / 98457
↖ ↑ ↗
← S 66.680174°
E 96.632996°		 ← 120.91 m → S 66.680174°
E 96.635742°		 →
↑
120.92 m
↓
↑
120.92 m
↓
S 66.681261°
E 96.632996°		 ← 120.90 m →
14 620 m²		 S 66.681261°
E 96.635742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768428802490234 y=0.751171112060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768428802490234 × 217)
    floor (0.768428802490234 × 131072)
    floor (100719.5)     		tx = 100719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751171112060547 × 217)
    floor (0.751171112060547 × 131072)
    floor (98457.5)     		ty = 98457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100719 / 98457 ti = "17/100719/98457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100719/98457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100719 ÷ 217
    100719 ÷ 131072     		x = 0.768424987792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98457 ÷ 217
    98457 ÷ 131072     		y = 0.751167297363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768424987792969 × 2 - 1) × π
    0.536849975585938 × 3.1415926535     		Λ = 1.68656394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751167297363281 × 2 - 1) × π
    -0.502334594726562 × 3.1415926535     		Φ = -1.57813067239187
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68656394} λ = 1.68656394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57813067239187))-π/2
    2×atan(0.206360493245113)-π/2
    2×0.203503871161327-π/2
    0.407007742322655-1.57079632675     		φ = -1.16378858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68656394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.632996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16378858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.680174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100719 KachelY 98457 1.68656394 -1.16378858 96.632996 -66.680174
    Oben rechts KachelX + 1 100720 KachelY 98457 1.68661188 -1.16378858 96.635742 -66.680174
    Unten links KachelX 100719 KachelY + 1 98458 1.68656394 -1.16380756 96.632996 -66.681261
    Unten rechts KachelX + 1 100720 KachelY + 1 98458 1.68661188 -1.16380756 96.635742 -66.681261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16378858--1.16380756) × R
    1.89799999998908e-05 × 6371000     		dl = 120.921579999304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16378858--1.16380756) × R
    1.89799999998908e-05 × 6371000     		dr = 120.921579999304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68656394-1.68661188) × cos(-1.16378858) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.395863289869265 × 6371000     		do = 120.906838247075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68656394-1.68661188) × cos(-1.16380756) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.395845860284501 × 6371000     		du = 120.901514803251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16378858)-sin(-1.16380756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395863289869265-0.395845860284501)×R²
    abs(1.68661188-1.68656394)×1.74295847638617e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74295847638617e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74295847638617e-05×40589641000000     		ar = 14619.9240544374m²