Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100718 / 98638
↖ ↑ ↗
← S 66.876188°
E 96.630249°		 ← 119.95 m → S 66.876188°
E 96.632996°		 →
↑
119.90 m
↓
↑
119.90 m
↓
S 66.877266°
E 96.630249°		 ← 119.94 m →
14 382 m²		 S 66.877266°
E 96.632996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100718 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768421173095703 y=0.752552032470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768421173095703 × 217)
    floor (0.768421173095703 × 131072)
    floor (100718.5)     		tx = 100718
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752552032470703 × 217)
    floor (0.752552032470703 × 131072)
    floor (98638.5)     		ty = 98638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100718 / 98638 ti = "17/100718/98638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100718/98638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100718 ÷ 217
    100718 ÷ 131072     		x = 0.768417358398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98638 ÷ 217
    98638 ÷ 131072     		y = 0.752548217773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768417358398438 × 2 - 1) × π
    0.536834716796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.68651600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752548217773438 × 2 - 1) × π
    -0.505096435546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.5868072512231
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68651600} λ = 1.68651600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5868072512231))-π/2
    2×atan(0.204577735461313)-π/2
    2×0.201793328681716-π/2
    0.403586657363431-1.57079632675     		φ = -1.16720967
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68651600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.630249°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16720967 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.876188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100718 KachelY 98638 1.68651600 -1.16720967 96.630249 -66.876188
    Oben rechts KachelX + 1 100719 KachelY 98638 1.68656394 -1.16720967 96.632996 -66.876188
    Unten links KachelX 100718 KachelY + 1 98639 1.68651600 -1.16722849 96.630249 -66.877266
    Unten rechts KachelX + 1 100719 KachelY + 1 98639 1.68656394 -1.16722849 96.632996 -66.877266
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16720967--1.16722849) × R
    1.8819999999975e-05 × 6371000     		dl = 119.902219999841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16720967--1.16722849) × R
    1.8819999999975e-05 × 6371000     		dr = 119.902219999841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68651600-1.68656394) × cos(-1.16720967) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.392719360141564 × 6371000     		do = 119.94660118404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68651600-1.68656394) × cos(-1.16722849) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.392702052101629 × 6371000     		du = 119.941314863135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16720967)-sin(-1.16722849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392719360141564-0.392702052101629)×R²
    abs(1.68656394-1.68651600)×1.73080399349934e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.73080399349934e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.73080399349934e-05×40589641000000     		ar = 14381.5468429766m²