Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100717 / 98643
↖ ↑ ↗
← S 66.881581°
E 96.627503°		 ← 119.90 m → S 66.881581°
E 96.630249°		 →
↑
119.90 m
↓
↑
119.90 m
↓
S 66.882659°
E 96.627503°		 ← 119.89 m →
14 375 m²		 S 66.882659°
E 96.630249°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100717 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98643 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768413543701172 y=0.752590179443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768413543701172 × 217)
    floor (0.768413543701172 × 131072)
    floor (100717.5)     		tx = 100717
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752590179443359 × 217)
    floor (0.752590179443359 × 131072)
    floor (98643.5)     		ty = 98643
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100717 / 98643 ti = "17/100717/98643"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100717/98643.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100717 ÷ 217
    100717 ÷ 131072     		x = 0.768409729003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98643 ÷ 217
    98643 ÷ 131072     		y = 0.752586364746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768409729003906 × 2 - 1) × π
    0.536819458007812 × 3.1415926535     		Λ = 1.68646807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752586364746094 × 2 - 1) × π
    -0.505172729492188 × 3.1415926535     		Φ = -1.5870469357212
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68646807} λ = 1.68646807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5870469357212))-π/2
    2×atan(0.204528707225355)-π/2
    2×0.201746269497126-π/2
    0.403492538994251-1.57079632675     		φ = -1.16730379
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68646807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.627503°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16730379 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.881581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100717 KachelY 98643 1.68646807 -1.16730379 96.627503 -66.881581
    Oben rechts KachelX + 1 100718 KachelY 98643 1.68651600 -1.16730379 96.630249 -66.881581
    Unten links KachelX 100717 KachelY + 1 98644 1.68646807 -1.16732261 96.627503 -66.882659
    Unten rechts KachelX + 1 100718 KachelY + 1 98644 1.68651600 -1.16732261 96.630249 -66.882659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16730379--1.16732261) × R
    1.8819999999975e-05 × 6371000     		dl = 119.902219999841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16730379--1.16732261) × R
    1.8819999999975e-05 × 6371000     		dr = 119.902219999841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68646807-1.68651600) × cos(-1.16730379) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.392632800157123 × 6371000     		do = 119.895148900081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68646807-1.68651600) × cos(-1.16732261) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.392615491421641 × 6371000     		du = 119.889863469478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16730379)-sin(-1.16732261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392632800157123-0.392615491421641)×R²
    abs(1.68651600-1.68646807)×1.73087354818913e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.73087354818913e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.73087354818913e-05×40589641000000     		ar = 14375.3776533078m²