Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100717 / 97758
↖ ↑ ↗
← S 65.908381°
E 96.627503°		 ← 124.65 m → S 65.908381°
E 96.630249°		 →
↑
124.62 m
↓
↑
124.62 m
↓
S 65.909502°
E 96.627503°		 ← 124.64 m →
15 533 m²		 S 65.909502°
E 96.630249°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100717 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768413543701172 y=0.745838165283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768413543701172 × 217)
    floor (0.768413543701172 × 131072)
    floor (100717.5)     		tx = 100717
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745838165283203 × 217)
    floor (0.745838165283203 × 131072)
    floor (97758.5)     		ty = 97758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100717 / 97758 ti = "17/100717/97758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100717/97758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100717 ÷ 217
    100717 ÷ 131072     		x = 0.768409729003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97758 ÷ 217
    97758 ÷ 131072     		y = 0.745834350585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768409729003906 × 2 - 1) × π
    0.536819458007812 × 3.1415926535     		Λ = 1.68646807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745834350585938 × 2 - 1) × π
    -0.491668701171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.54462277955745
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68646807} λ = 1.68646807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54462277955745))-π/2
    2×atan(0.213392351999922)-π/2
    2×0.210239035565649-π/2
    0.420478071131298-1.57079632675     		φ = -1.15031826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68646807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.627503°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15031826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.908381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100717 KachelY 97758 1.68646807 -1.15031826 96.627503 -65.908381
    Oben rechts KachelX + 1 100718 KachelY 97758 1.68651600 -1.15031826 96.630249 -65.908381
    Unten links KachelX 100717 KachelY + 1 97759 1.68646807 -1.15033782 96.627503 -65.909502
    Unten rechts KachelX + 1 100718 KachelY + 1 97759 1.68651600 -1.15033782 96.630249 -65.909502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15031826--1.15033782) × R
    1.95600000001406e-05 × 6371000     		dl = 124.616760000896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15031826--1.15033782) × R
    1.95600000001406e-05 × 6371000     		dr = 124.616760000896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68646807-1.68651600) × cos(-1.15031826) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.408196923949705 × 6371000     		do = 124.647841336536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68646807-1.68651600) × cos(-1.15033782) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.40817906766695 × 6371000     		du = 124.642388705786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15031826)-sin(-1.15033782))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408196923949705-0.40817906766695)×R²
    abs(1.68651600-1.68646807)×1.78562827550244e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.78562827550244e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.78562827550244e-05×40589641000000     		ar = 15532.8703844862m²