Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100716 / 98189
↖ ↑ ↗
← S 66.387061°
E 96.624756°		 ← 122.34 m → S 66.387061°
E 96.627503°		 →
↑
122.32 m
↓
↑
122.32 m
↓
S 66.388161°
E 96.624756°		 ← 122.33 m →
14 965 m²		 S 66.388161°
E 96.627503°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768405914306641 y=0.749126434326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768405914306641 × 217)
    floor (0.768405914306641 × 131072)
    floor (100716.5)     		tx = 100716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749126434326172 × 217)
    floor (0.749126434326172 × 131072)
    floor (98189.5)     		ty = 98189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100716 / 98189 ti = "17/100716/98189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100716/98189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100716 ÷ 217
    100716 ÷ 131072     		x = 0.768402099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98189 ÷ 217
    98189 ÷ 131072     		y = 0.749122619628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768402099609375 × 2 - 1) × π
    0.53680419921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.68642013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749122619628906 × 2 - 1) × π
    -0.498245239257812 × 3.1415926535     		Φ = -1.56528358329369
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68642013} λ = 1.68642013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56528358329369))-π/2
    2×atan(0.209028727712416)-π/2
    2×0.206061764390824-π/2
    0.412123528781647-1.57079632675     		φ = -1.15867280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68642013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.624756°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15867280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.387061°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100716 KachelY 98189 1.68642013 -1.15867280 96.624756 -66.387061
    Oben rechts KachelX + 1 100717 KachelY 98189 1.68646807 -1.15867280 96.627503 -66.387061
    Unten links KachelX 100716 KachelY + 1 98190 1.68642013 -1.15869200 96.624756 -66.388161
    Unten rechts KachelX + 1 100717 KachelY + 1 98190 1.68646807 -1.15869200 96.627503 -66.388161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15867280--1.15869200) × R
    1.9200000000108e-05 × 6371000     		dl = 122.323200000688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15867280--1.15869200) × R
    1.9200000000108e-05 × 6371000     		dr = 122.323200000688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68642013-1.68646807) × cos(-1.15867280) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.400555958424796 × 6371000     		do = 122.340100013789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68642013-1.68646807) × cos(-1.15869200) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.400538365922844 × 6371000     		du = 122.334726810862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15867280)-sin(-1.15869200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400555958424796-0.400538365922844)×R²
    abs(1.68646807-1.68642013)×1.75925019520462e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.75925019520462e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.75925019520462e-05×40589641000000     		ar = 14964.7038889847m²