Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100714 / 98211
↖ ↑ ↗
← S 66.411253°
E 96.619262°		 ← 122.22 m → S 66.411253°
E 96.622009°		 →
↑
122.26 m
↓
↑
122.26 m
↓
S 66.412352°
E 96.619262°		 ← 122.22 m →
14 942 m²		 S 66.412352°
E 96.622009°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100714 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768390655517578 y=0.749294281005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768390655517578 × 217)
    floor (0.768390655517578 × 131072)
    floor (100714.5)     		tx = 100714
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749294281005859 × 217)
    floor (0.749294281005859 × 131072)
    floor (98211.5)     		ty = 98211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100714 / 98211 ti = "17/100714/98211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100714/98211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100714 ÷ 217
    100714 ÷ 131072     		x = 0.768386840820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98211 ÷ 217
    98211 ÷ 131072     		y = 0.749290466308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768386840820312 × 2 - 1) × π
    0.536773681640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.68632425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749290466308594 × 2 - 1) × π
    -0.498580932617188 × 3.1415926535     		Φ = -1.56633819508533
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68632425} λ = 1.68632425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56633819508533))-π/2
    2×atan(0.208808399752032)-π/2
    2×0.205850650894792-π/2
    0.411701301789583-1.57079632675     		φ = -1.15909502
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68632425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.619262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15909502 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.411253°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100714 KachelY 98211 1.68632425 -1.15909502 96.619262 -66.411253
    Oben rechts KachelX + 1 100715 KachelY 98211 1.68637219 -1.15909502 96.622009 -66.411253
    Unten links KachelX 100714 KachelY + 1 98212 1.68632425 -1.15911421 96.619262 -66.412352
    Unten rechts KachelX + 1 100715 KachelY + 1 98212 1.68637219 -1.15911421 96.622009 -66.412352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15909502--1.15911421) × R
    1.91899999999467e-05 × 6371000     		dl = 122.259489999661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15909502--1.15911421) × R
    1.91899999999467e-05 × 6371000     		dr = 122.259489999661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68632425-1.68637219) × cos(-1.15909502) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.400169054243109 × 6371000     		do = 122.221929517221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68632425-1.68637219) × cos(-1.15911421) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.40015146766013 × 6371000     		du = 122.216558122101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15909502)-sin(-1.15911421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400169054243109-0.40015146766013)×R²
    abs(1.68637219-1.68632425)×1.75865829786792e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75865829786792e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75865829786792e-05×40589641000000     		ar = 14942.4624180118m²