Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100713 / 99836
↖ ↑ ↗
← S 68.134760°
E 96.616516°		 ← 113.72 m → S 68.134760°
E 96.619262°		 →
↑
113.79 m
↓
↑
113.79 m
↓
S 68.135783°
E 96.616516°		 ← 113.72 m →
12 940 m²		 S 68.135783°
E 96.619262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768383026123047 y=0.761692047119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768383026123047 × 217)
    floor (0.768383026123047 × 131072)
    floor (100713.5)     		tx = 100713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761692047119141 × 217)
    floor (0.761692047119141 × 131072)
    floor (99836.5)     		ty = 99836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100713 / 99836 ti = "17/100713/99836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100713/99836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100713 ÷ 217
    100713 ÷ 131072     		x = 0.768379211425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99836 ÷ 217
    99836 ÷ 131072     		y = 0.761688232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768379211425781 × 2 - 1) × π
    0.536758422851562 × 3.1415926535     		Λ = 1.68627632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761688232421875 × 2 - 1) × π
    -0.52337646484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.64423565696793
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68627632} λ = 1.68627632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64423565696793))-π/2
    2×atan(0.193160146996529)-π/2
    2×0.19081021110715-π/2
    0.3816204222143-1.57079632675     		φ = -1.18917590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68627632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.616516°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18917590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.134760°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100713 KachelY 99836 1.68627632 -1.18917590 96.616516 -68.134760
    Oben rechts KachelX + 1 100714 KachelY 99836 1.68632425 -1.18917590 96.619262 -68.134760
    Unten links KachelX 100713 KachelY + 1 99837 1.68627632 -1.18919376 96.616516 -68.135783
    Unten rechts KachelX + 1 100714 KachelY + 1 99837 1.68632425 -1.18919376 96.619262 -68.135783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18917590--1.18919376) × R
    1.78600000000362e-05 × 6371000     		dl = 113.786060000231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18917590--1.18919376) × R
    1.78600000000362e-05 × 6371000     		dr = 113.786060000231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68627632-1.68632425) × cos(-1.18917590) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.372424814835159 × 6371000     		do = 113.724397480508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68627632-1.68632425) × cos(-1.18919376) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.372408239581884 × 6371000     		du = 113.71933602752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18917590)-sin(-1.18919376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372424814835159-0.372408239581884)×R²
    abs(1.68632425-1.68627632)×1.65752532741426e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.65752532741426e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.65752532741426e-05×40589641000000     		ar = 12939.9631543071m²