Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100713 / 98139
↖ ↑ ↗
← S 66.331993°
E 96.616516°		 ← 122.58 m → S 66.331993°
E 96.619262°		 →
↑
122.64 m
↓
↑
122.64 m
↓
S 66.333096°
E 96.616516°		 ← 122.58 m →
15 034 m²		 S 66.333096°
E 96.619262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768383026123047 y=0.748744964599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768383026123047 × 217)
    floor (0.768383026123047 × 131072)
    floor (100713.5)     		tx = 100713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748744964599609 × 217)
    floor (0.748744964599609 × 131072)
    floor (98139.5)     		ty = 98139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100713 / 98139 ti = "17/100713/98139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100713/98139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100713 ÷ 217
    100713 ÷ 131072     		x = 0.768379211425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98139 ÷ 217
    98139 ÷ 131072     		y = 0.748741149902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768379211425781 × 2 - 1) × π
    0.536758422851562 × 3.1415926535     		Λ = 1.68627632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748741149902344 × 2 - 1) × π
    -0.497482299804688 × 3.1415926535     		Φ = -1.56288673831269
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68627632} λ = 1.68627632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56288673831269))-π/2
    2×atan(0.209530338070313)-π/2
    2×0.206542327092198-π/2
    0.413084654184396-1.57079632675     		φ = -1.15771167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68627632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.616516°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15771167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.331993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100713 KachelY 98139 1.68627632 -1.15771167 96.616516 -66.331993
    Oben rechts KachelX + 1 100714 KachelY 98139 1.68632425 -1.15771167 96.619262 -66.331993
    Unten links KachelX 100713 KachelY + 1 98140 1.68627632 -1.15773092 96.616516 -66.333096
    Unten rechts KachelX + 1 100714 KachelY + 1 98140 1.68632425 -1.15773092 96.619262 -66.333096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15771167--1.15773092) × R
    1.92500000000262e-05 × 6371000     		dl = 122.641750000167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15771167--1.15773092) × R
    1.92500000000262e-05 × 6371000     		dr = 122.641750000167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68627632-1.68632425) × cos(-1.15771167) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.401436430072082 × 6371000     		do = 122.583443202839m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68627632-1.68632425) × cos(-1.15773092) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.401418799175099 × 6371000     		du = 122.578059396346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15771167)-sin(-1.15773092))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401436430072082-0.401418799175099)×R²
    abs(1.68632425-1.68627632)×1.76308969820904e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.76308969820904e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.76308969820904e-05×40589641000000     		ar = 15033.5178561399m²