Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100713 / 97561
↖ ↑ ↗
← S 65.686561°
E 96.616516°		 ← 125.73 m → S 65.686561°
E 96.619262°		 →
↑
125.70 m
↓
↑
125.70 m
↓
S 65.687692°
E 96.616516°		 ← 125.72 m →
15 803 m²		 S 65.687692°
E 96.619262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768383026123047 y=0.744335174560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768383026123047 × 217)
    floor (0.768383026123047 × 131072)
    floor (100713.5)     		tx = 100713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744335174560547 × 217)
    floor (0.744335174560547 × 131072)
    floor (97561.5)     		ty = 97561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100713 / 97561 ti = "17/100713/97561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100713/97561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100713 ÷ 217
    100713 ÷ 131072     		x = 0.768379211425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97561 ÷ 217
    97561 ÷ 131072     		y = 0.744331359863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768379211425781 × 2 - 1) × π
    0.536758422851562 × 3.1415926535     		Λ = 1.68627632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744331359863281 × 2 - 1) × π
    -0.488662719726562 × 3.1415926535     		Φ = -1.5351792103323
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68627632} λ = 1.68627632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5351792103323))-π/2
    2×atan(0.21541708274335)-π/2
    2×0.21217478075247-π/2
    0.424349561504941-1.57079632675     		φ = -1.14644677
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68627632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.616516°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14644677 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.686561°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100713 KachelY 97561 1.68627632 -1.14644677 96.616516 -65.686561
    Oben rechts KachelX + 1 100714 KachelY 97561 1.68632425 -1.14644677 96.619262 -65.686561
    Unten links KachelX 100713 KachelY + 1 97562 1.68627632 -1.14646650 96.616516 -65.687692
    Unten rechts KachelX + 1 100714 KachelY + 1 97562 1.68632425 -1.14646650 96.619262 -65.687692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14644677--1.14646650) × R
    1.97299999999956e-05 × 6371000     		dl = 125.699829999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14644677--1.14646650) × R
    1.97299999999956e-05 × 6371000     		dr = 125.699829999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68627632-1.68632425) × cos(-1.14644677) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.411728115610188 × 6371000     		do = 125.726133190879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68627632-1.68632425) × cos(-1.14646650) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.41171013544824 × 6371000     		du = 125.720642732126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14644677)-sin(-1.14646650))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411728115610188-0.41171013544824)×R²
    abs(1.68632425-1.68627632)×1.79801619479281e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.79801619479281e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.79801619479281e-05×40589641000000     		ar = 15803.4084941268m²