Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100711 / 98679
↖ ↑ ↗
← S 66.920372°
E 96.611023°		 ← 119.73 m → S 66.920372°
E 96.613769°		 →
↑
119.71 m
↓
↑
119.71 m
↓
S 66.921449°
E 96.611023°		 ← 119.72 m →
14 333 m²		 S 66.921449°
E 96.613769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768367767333984 y=0.752864837646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768367767333984 × 217)
    floor (0.768367767333984 × 131072)
    floor (100711.5)     		tx = 100711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752864837646484 × 217)
    floor (0.752864837646484 × 131072)
    floor (98679.5)     		ty = 98679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100711 / 98679 ti = "17/100711/98679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100711/98679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100711 ÷ 217
    100711 ÷ 131072     		x = 0.768363952636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98679 ÷ 217
    98679 ÷ 131072     		y = 0.752861022949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768363952636719 × 2 - 1) × π
    0.536727905273438 × 3.1415926535     		Λ = 1.68618044
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752861022949219 × 2 - 1) × π
    -0.505722045898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.58877266410752
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68618044} λ = 1.68618044}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58877266410752))-π/2
    2×atan(0.204176050611765)-π/2
    2×0.201407749448105-π/2
    0.402815498896211-1.57079632675     		φ = -1.16798083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68618044} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.611023°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16798083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.920372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100711 KachelY 98679 1.68618044 -1.16798083 96.611023 -66.920372
    Oben rechts KachelX + 1 100712 KachelY 98679 1.68622838 -1.16798083 96.613769 -66.920372
    Unten links KachelX 100711 KachelY + 1 98680 1.68618044 -1.16799962 96.611023 -66.921449
    Unten rechts KachelX + 1 100712 KachelY + 1 98680 1.68622838 -1.16799962 96.613769 -66.921449
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16798083--1.16799962) × R
    1.87899999999352e-05 × 6371000     		dl = 119.711089999587m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16798083--1.16799962) × R
    1.87899999999352e-05 × 6371000     		dr = 119.711089999587m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68618044-1.68622838) × cos(-1.16798083) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.392010039696151 × 6371000     		do = 119.729956461548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68618044-1.68622838) × cos(-1.16799962) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.391992753560911 × 6371000     		du = 119.7246768309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16798083)-sin(-1.16799962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392010039696151-0.391992753560911)×R²
    abs(1.68622838-1.68618044)×1.72861352398801e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.72861352398801e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.72861352398801e-05×40589641000000     		ar = 14332.6875790479m²