Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100711 / 98212
↖ ↑ ↗
← S 66.412352°
E 96.611023°		 ← 122.22 m → S 66.412352°
E 96.613769°		 →
↑
122.20 m
↓
↑
122.20 m
↓
S 66.413451°
E 96.611023°		 ← 122.21 m →
14 934 m²		 S 66.413451°
E 96.613769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768367767333984 y=0.749301910400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768367767333984 × 217)
    floor (0.768367767333984 × 131072)
    floor (100711.5)     		tx = 100711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749301910400391 × 217)
    floor (0.749301910400391 × 131072)
    floor (98212.5)     		ty = 98212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100711 / 98212 ti = "17/100711/98212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100711/98212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100711 ÷ 217
    100711 ÷ 131072     		x = 0.768363952636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98212 ÷ 217
    98212 ÷ 131072     		y = 0.749298095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768363952636719 × 2 - 1) × π
    0.536727905273438 × 3.1415926535     		Λ = 1.68618044
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749298095703125 × 2 - 1) × π
    -0.49859619140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.56638613198495
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68618044} λ = 1.68618044}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56638613198495))-π/2
    2×atan(0.208798390364645)-π/2
    2×0.205841059673689-π/2
    0.411682119347379-1.57079632675     		φ = -1.15911421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68618044} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.611023°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15911421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.412352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100711 KachelY 98212 1.68618044 -1.15911421 96.611023 -66.412352
    Oben rechts KachelX + 1 100712 KachelY 98212 1.68622838 -1.15911421 96.613769 -66.412352
    Unten links KachelX 100711 KachelY + 1 98213 1.68618044 -1.15913339 96.611023 -66.413451
    Unten rechts KachelX + 1 100712 KachelY + 1 98213 1.68622838 -1.15913339 96.613769 -66.413451
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15911421--1.15913339) × R
    1.91800000000075e-05 × 6371000     		dl = 122.195780000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15911421--1.15913339) × R
    1.91800000000075e-05 × 6371000     		dr = 122.195780000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68618044-1.68622838) × cos(-1.15911421) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.40015146766013 × 6371000     		do = 122.216558122101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68618044-1.68622838) × cos(-1.15913339) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.40013389009436 × 6371000     		du = 122.211189481068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15911421)-sin(-1.15913339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40015146766013-0.40013389009436)×R²
    abs(1.68622838-1.68618044)×1.75775657700328e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75775657700328e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75775657700328e-05×40589641000000     		ar = 14934.019636329m²