Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100710 / 98680
↖ ↑ ↗
← S 66.921449°
E 96.608277°		 ← 119.70 m → S 66.921449°
E 96.611023°		 →
↑
119.71 m
↓
↑
119.71 m
↓
S 66.922525°
E 96.608277°		 ← 119.69 m →
14 329 m²		 S 66.922525°
E 96.611023°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768360137939453 y=0.752872467041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768360137939453 × 217)
    floor (0.768360137939453 × 131072)
    floor (100710.5)     		tx = 100710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752872467041016 × 217)
    floor (0.752872467041016 × 131072)
    floor (98680.5)     		ty = 98680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100710 / 98680 ti = "17/100710/98680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100710/98680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100710 ÷ 217
    100710 ÷ 131072     		x = 0.768356323242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98680 ÷ 217
    98680 ÷ 131072     		y = 0.75286865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768356323242188 × 2 - 1) × π
    0.536712646484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.68613251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75286865234375 × 2 - 1) × π
    -0.5057373046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.58882060100714
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68613251} λ = 1.68613251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58882060100714))-π/2
    2×atan(0.204166263279511)-π/2
    2×0.201398353782274-π/2
    0.402796707564549-1.57079632675     		φ = -1.16799962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68613251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.608277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16799962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.921449°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100710 KachelY 98680 1.68613251 -1.16799962 96.608277 -66.921449
    Oben rechts KachelX + 1 100711 KachelY 98680 1.68618044 -1.16799962 96.611023 -66.921449
    Unten links KachelX 100710 KachelY + 1 98681 1.68613251 -1.16801841 96.608277 -66.922525
    Unten rechts KachelX + 1 100711 KachelY + 1 98681 1.68618044 -1.16801841 96.611023 -66.922525
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16799962--1.16801841) × R
    1.87899999999352e-05 × 6371000     		dl = 119.711089999587m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16799962--1.16801841) × R
    1.87899999999352e-05 × 6371000     		dr = 119.711089999587m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68613251-1.68618044) × cos(-1.16799962) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.391992753560911 × 6371000     		do = 119.699702972723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68613251-1.68618044) × cos(-1.16801841) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.391975467287272 × 6371000     		du = 119.694424401113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16799962)-sin(-1.16801841))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391992753560911-0.391975467287272)×R²
    abs(1.68618044-1.68613251)×1.72862736384505e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.72862736384505e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.72862736384505e-05×40589641000000     		ar = 14329.0659639694m²