Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100708 / 98460
↖ ↑ ↗
← S 66.683436°
E 96.602783°		 ← 120.89 m → S 66.683436°
E 96.605530°		 →
↑
120.86 m
↓
↑
120.86 m
↓
S 66.684523°
E 96.602783°		 ← 120.89 m →
14 610 m²		 S 66.684523°
E 96.605530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768344879150391 y=0.751194000244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768344879150391 × 217)
    floor (0.768344879150391 × 131072)
    floor (100708.5)     		tx = 100708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751194000244141 × 217)
    floor (0.751194000244141 × 131072)
    floor (98460.5)     		ty = 98460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100708 / 98460 ti = "17/100708/98460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100708/98460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100708 ÷ 217
    100708 ÷ 131072     		x = 0.768341064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98460 ÷ 217
    98460 ÷ 131072     		y = 0.751190185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768341064453125 × 2 - 1) × π
    0.53668212890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.68603663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751190185546875 × 2 - 1) × π
    -0.50238037109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.57827448309073
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68603663} λ = 1.68603663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57827448309073))-π/2
    2×atan(0.206330818532184)-π/2
    2×0.203475408352933-π/2
    0.406950816705866-1.57079632675     		φ = -1.16384551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68603663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.602783°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16384551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.683436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100708 KachelY 98460 1.68603663 -1.16384551 96.602783 -66.683436
    Oben rechts KachelX + 1 100709 KachelY 98460 1.68608457 -1.16384551 96.605530 -66.683436
    Unten links KachelX 100708 KachelY + 1 98461 1.68603663 -1.16386448 96.602783 -66.684523
    Unten rechts KachelX + 1 100709 KachelY + 1 98461 1.68608457 -1.16386448 96.605530 -66.684523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16384551--1.16386448) × R
    1.89699999999515e-05 × 6371000     		dl = 120.857869999691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16384551--1.16386448) × R
    1.89699999999515e-05 × 6371000     		dr = 120.857869999691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68603663-1.68608457) × cos(-1.16384551) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.3958110098705 × 6371000     		do = 120.890870589765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68603663-1.68608457) × cos(-1.16386448) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.395793589041426 × 6371000     		du = 120.885549820154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16384551)-sin(-1.16386448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3958110098705-0.395793589041426)×R²
    abs(1.68608457-1.68603663)×1.74208290739108e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74208290739108e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74208290739108e-05×40589641000000     		ar = 14610.2915939794m²