Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100706 / 98461
↖ ↑ ↗
← S 66.684523°
E 96.597290°		 ← 120.89 m → S 66.684523°
E 96.600037°		 →
↑
120.92 m
↓
↑
120.92 m
↓
S 66.685610°
E 96.597290°		 ← 120.88 m →
14 617 m²		 S 66.685610°
E 96.600037°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768329620361328 y=0.751201629638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768329620361328 × 217)
    floor (0.768329620361328 × 131072)
    floor (100706.5)     		tx = 100706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751201629638672 × 217)
    floor (0.751201629638672 × 131072)
    floor (98461.5)     		ty = 98461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100706 / 98461 ti = "17/100706/98461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100706/98461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100706 ÷ 217
    100706 ÷ 131072     		x = 0.768325805664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98461 ÷ 217
    98461 ÷ 131072     		y = 0.751197814941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768325805664062 × 2 - 1) × π
    0.536651611328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.68594076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751197814941406 × 2 - 1) × π
    -0.502395629882812 × 3.1415926535     		Φ = -1.57832241999035
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68594076} λ = 1.68594076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57832241999035))-π/2
    2×atan(0.206320927909513)-π/2
    2×0.203465921585426-π/2
    0.406931843170852-1.57079632675     		φ = -1.16386448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68594076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.597290°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16386448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.684523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100706 KachelY 98461 1.68594076 -1.16386448 96.597290 -66.684523
    Oben rechts KachelX + 1 100707 KachelY 98461 1.68598870 -1.16386448 96.600037 -66.684523
    Unten links KachelX 100706 KachelY + 1 98462 1.68594076 -1.16388346 96.597290 -66.685610
    Unten rechts KachelX + 1 100707 KachelY + 1 98462 1.68598870 -1.16388346 96.600037 -66.685610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16386448--1.16388346) × R
    1.89800000001128e-05 × 6371000     		dl = 120.921580000719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16386448--1.16388346) × R
    1.89800000001128e-05 × 6371000     		dr = 120.921580000719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68594076-1.68598870) × cos(-1.16386448) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.395793589041426 × 6371000     		do = 120.885549820154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68594076-1.68598870) × cos(-1.16388346) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.395776158886451 × 6371000     		du = 120.880226202173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16386448)-sin(-1.16388346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395793589041426-0.395776158886451)×R²
    abs(1.68598870-1.68594076)×1.74301549748512e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74301549748512e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74301549748512e-05×40589641000000     		ar = 14617.3498137324m²