Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100704 / 98401
↖ ↑ ↗
← S 66.619212°
E 96.591797°		 ← 121.18 m → S 66.619212°
E 96.594543°		 →
↑
121.18 m
↓
↑
121.18 m
↓
S 66.620302°
E 96.591797°		 ← 121.17 m →
14 684 m²		 S 66.620302°
E 96.594543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768314361572266 y=0.750743865966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768314361572266 × 217)
    floor (0.768314361572266 × 131072)
    floor (100704.5)     		tx = 100704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750743865966797 × 217)
    floor (0.750743865966797 × 131072)
    floor (98401.5)     		ty = 98401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100704 / 98401 ti = "17/100704/98401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100704/98401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100704 ÷ 217
    100704 ÷ 131072     		x = 0.768310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98401 ÷ 217
    98401 ÷ 131072     		y = 0.750740051269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768310546875 × 2 - 1) × π
    0.53662109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.68584489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750740051269531 × 2 - 1) × π
    -0.501480102539062 × 3.1415926535     		Φ = -1.57544620601315
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68584489} λ = 1.68584489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57544620601315))-π/2
    2×atan(0.206915205270897)-π/2
    2×0.204035867363089-π/2
    0.408071734726178-1.57079632675     		φ = -1.16272459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68584489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.591797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16272459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.619212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100704 KachelY 98401 1.68584489 -1.16272459 96.591797 -66.619212
    Oben rechts KachelX + 1 100705 KachelY 98401 1.68589282 -1.16272459 96.594543 -66.619212
    Unten links KachelX 100704 KachelY + 1 98402 1.68584489 -1.16274361 96.591797 -66.620302
    Unten rechts KachelX + 1 100705 KachelY + 1 98402 1.68589282 -1.16274361 96.594543 -66.620302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16272459--1.16274361) × R
    1.90199999998697e-05 × 6371000     		dl = 121.17641999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16272459--1.16274361) × R
    1.90199999998697e-05 × 6371000     		dr = 121.17641999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68584489-1.68589282) × cos(-1.16272459) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.396840137688889 × 6371000     		do = 121.179910030233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68584489-1.68589282) × cos(-1.16274361) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.396822679392276 × 6371000     		du = 121.174578929339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16272459)-sin(-1.16274361))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396840137688889-0.396822679392276)×R²
    abs(1.68589282-1.68584489)×1.74582966135928e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.74582966135928e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.74582966135928e-05×40589641000000     		ar = 14683.8246718769m²