Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100703 / 97581
↖ ↑ ↗
← S 65.709168°
E 96.589050°		 ← 125.64 m → S 65.709168°
E 96.591797°		 →
↑
125.64 m
↓
↑
125.64 m
↓
S 65.710298°
E 96.589050°		 ← 125.64 m →
15 785 m²		 S 65.710298°
E 96.591797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768306732177734 y=0.744487762451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768306732177734 × 217)
    floor (0.768306732177734 × 131072)
    floor (100703.5)     		tx = 100703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744487762451172 × 217)
    floor (0.744487762451172 × 131072)
    floor (97581.5)     		ty = 97581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100703 / 97581 ti = "17/100703/97581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100703/97581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100703 ÷ 217
    100703 ÷ 131072     		x = 0.768302917480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97581 ÷ 217
    97581 ÷ 131072     		y = 0.744483947753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768302917480469 × 2 - 1) × π
    0.536605834960938 × 3.1415926535     		Λ = 1.68579695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744483947753906 × 2 - 1) × π
    -0.488967895507812 × 3.1415926535     		Φ = -1.5361379483247
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68579695} λ = 1.68579695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5361379483247))-π/2
    2×atan(0.215210653173659)-π/2
    2×0.211977497258324-π/2
    0.423954994516648-1.57079632675     		φ = -1.14684133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68579695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.589050°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14684133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.709168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100703 KachelY 97581 1.68579695 -1.14684133 96.589050 -65.709168
    Oben rechts KachelX + 1 100704 KachelY 97581 1.68584489 -1.14684133 96.591797 -65.709168
    Unten links KachelX 100703 KachelY + 1 97582 1.68579695 -1.14686105 96.589050 -65.710298
    Unten rechts KachelX + 1 100704 KachelY + 1 97582 1.68584489 -1.14686105 96.591797 -65.710298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14684133--1.14686105) × R
    1.97200000000564e-05 × 6371000     		dl = 125.636120000359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14684133--1.14686105) × R
    1.97200000000564e-05 × 6371000     		dr = 125.636120000359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68579695-1.68584489) × cos(-1.14684133) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.411368518387129 × 6371000     		do = 125.64253414101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68579695-1.68584489) × cos(-1.14686105) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.411350544136256 × 6371000     		du = 125.637044342136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14684133)-sin(-1.14686105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411368518387129-0.411350544136256)×R²
    abs(1.68584489-1.68579695)×1.79742508731318e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79742508731318e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79742508731318e-05×40589641000000     		ar = 15784.895638477m²