Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100701 / 98837
↖ ↑ ↗
← S 67.089897°
E 96.583557°		 ← 118.87 m → S 67.089897°
E 96.586304°		 →
↑
118.88 m
↓
↑
118.88 m
↓
S 67.090966°
E 96.583557°		 ← 118.87 m →
14 132 m²		 S 67.090966°
E 96.586304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100701 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98837 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768291473388672 y=0.754070281982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768291473388672 × 217)
    floor (0.768291473388672 × 131072)
    floor (100701.5)     		tx = 100701
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754070281982422 × 217)
    floor (0.754070281982422 × 131072)
    floor (98837.5)     		ty = 98837
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100701 / 98837 ti = "17/100701/98837"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100701/98837.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100701 ÷ 217
    100701 ÷ 131072     		x = 0.768287658691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98837 ÷ 217
    98837 ÷ 131072     		y = 0.754066467285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768287658691406 × 2 - 1) × π
    0.536575317382812 × 3.1415926535     		Λ = 1.68570108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754066467285156 × 2 - 1) × π
    -0.508132934570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.59634669424749
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68570108} λ = 1.68570108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59634669424749))-π/2
    2×atan(0.202635456667847)-π/2
    2×0.199928363708835-π/2
    0.39985672741767-1.57079632675     		φ = -1.17093960
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68570108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.583557°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17093960 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.089897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100701 KachelY 98837 1.68570108 -1.17093960 96.583557 -67.089897
    Oben rechts KachelX + 1 100702 KachelY 98837 1.68574901 -1.17093960 96.586304 -67.089897
    Unten links KachelX 100701 KachelY + 1 98838 1.68570108 -1.17095826 96.583557 -67.090966
    Unten rechts KachelX + 1 100702 KachelY + 1 98838 1.68574901 -1.17095826 96.586304 -67.090966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17093960--1.17095826) × R
    1.86599999998371e-05 × 6371000     		dl = 118.882859998962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17093960--1.17095826) × R
    1.86599999998371e-05 × 6371000     		dr = 118.882859998962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68570108-1.68574901) × cos(-1.17093960) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.389286374951559 × 6371000     		do = 118.873277706622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68570108-1.68574901) × cos(-1.17095826) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.389269186844713 × 6371000     		du = 118.868029111424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17093960)-sin(-1.17095826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389286374951559-0.389269186844713)×R²
    abs(1.68574901-1.68570108)×1.71881068458113e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.71881068458113e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.71881068458113e-05×40589641000000     		ar = 14131.6832475606m²