Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100700 / 98811
↖ ↑ ↗
← S 67.062082°
E 96.580811°		 ← 119.03 m → S 67.062082°
E 96.583557°		 →
↑
119.01 m
↓
↑
119.01 m
↓
S 67.063152°
E 96.580811°		 ← 119.03 m →
14 166 m²		 S 67.063152°
E 96.583557°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98811 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768283843994141 y=0.753871917724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768283843994141 × 217)
    floor (0.768283843994141 × 131072)
    floor (100700.5)     		tx = 100700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753871917724609 × 217)
    floor (0.753871917724609 × 131072)
    floor (98811.5)     		ty = 98811
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100700 / 98811 ti = "17/100700/98811"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100700/98811.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100700 ÷ 217
    100700 ÷ 131072     		x = 0.768280029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98811 ÷ 217
    98811 ÷ 131072     		y = 0.753868103027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768280029296875 × 2 - 1) × π
    0.53656005859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.68565314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753868103027344 × 2 - 1) × π
    -0.507736206054688 × 3.1415926535     		Φ = -1.59510033485737
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68565314} λ = 1.68565314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59510033485737))-π/2
    2×atan(0.202888170725592)-π/2
    2×0.2001710983723-π/2
    0.4003421967446-1.57079632675     		φ = -1.17045413
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68565314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.580811°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17045413 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.062082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100700 KachelY 98811 1.68565314 -1.17045413 96.580811 -67.062082
    Oben rechts KachelX + 1 100701 KachelY 98811 1.68570108 -1.17045413 96.583557 -67.062082
    Unten links KachelX 100700 KachelY + 1 98812 1.68565314 -1.17047281 96.580811 -67.063152
    Unten rechts KachelX + 1 100701 KachelY + 1 98812 1.68570108 -1.17047281 96.583557 -67.063152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17045413--1.17047281) × R
    1.86799999999376e-05 × 6371000     		dl = 119.010279999603m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17045413--1.17047281) × R
    1.86799999999376e-05 × 6371000     		dr = 119.010279999603m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68565314-1.68570108) × cos(-1.17045413) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.389733503622371 × 6371000     		do = 119.034643746577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68565314-1.68570108) × cos(-1.17047281) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.389716300625268 × 6371000     		du = 119.029389508457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17045413)-sin(-1.17047281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389733503622371-0.389716300625268)×R²
    abs(1.68570108-1.68565314)×1.72029971028387e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.72029971028387e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.72029971028387e-05×40589641000000     		ar = 14166.0336282459m²