Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100698 / 97833
↖ ↑ ↗
← S 65.992329°
E 96.575317°		 ← 124.27 m → S 65.992329°
E 96.578064°		 →
↑
124.23 m
↓
↑
124.23 m
↓
S 65.993447°
E 96.575317°		 ← 124.26 m →
15 438 m²		 S 65.993447°
E 96.578064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768268585205078 y=0.746410369873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768268585205078 × 217)
    floor (0.768268585205078 × 131072)
    floor (100698.5)     		tx = 100698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746410369873047 × 217)
    floor (0.746410369873047 × 131072)
    floor (97833.5)     		ty = 97833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100698 / 97833 ti = "17/100698/97833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100698/97833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100698 ÷ 217
    100698 ÷ 131072     		x = 0.768264770507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97833 ÷ 217
    97833 ÷ 131072     		y = 0.746406555175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768264770507812 × 2 - 1) × π
    0.536529541015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.68555726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746406555175781 × 2 - 1) × π
    -0.492813110351562 × 3.1415926535     		Φ = -1.54821804702895
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68555726} λ = 1.68555726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54821804702895))-π/2
    2×atan(0.212626526916033)-π/2
    2×0.2095064501261-π/2
    0.419012900252199-1.57079632675     		φ = -1.15178343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68555726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.575317°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15178343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.992329°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100698 KachelY 97833 1.68555726 -1.15178343 96.575317 -65.992329
    Oben rechts KachelX + 1 100699 KachelY 97833 1.68560520 -1.15178343 96.578064 -65.992329
    Unten links KachelX 100698 KachelY + 1 97834 1.68555726 -1.15180293 96.575317 -65.993447
    Unten rechts KachelX + 1 100699 KachelY + 1 97834 1.68560520 -1.15180293 96.578064 -65.993447
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15178343--1.15180293) × R
    1.94999999998391e-05 × 6371000     		dl = 124.234499998975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15178343--1.15180293) × R
    1.94999999998391e-05 × 6371000     		dr = 124.234499998975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68555726-1.68560520) × cos(-1.15178343) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.406858941531094 × 6371000     		do = 124.26519329267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68555726-1.68560520) × cos(-1.15180293) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.406841128379299 × 6371000     		du = 124.259752697601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15178343)-sin(-1.15180293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406858941531094-0.406841128379299)×R²
    abs(1.68560520-1.68555726)×1.78131517952762e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.78131517952762e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.78131517952762e-05×40589641000000     		ar = 15437.6862017514m²