Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100696 / 97547
↖ ↑ ↗
← S 65.670724°
E 96.569824°		 ← 125.83 m → S 65.670724°
E 96.572571°		 →
↑
125.83 m
↓
↑
125.83 m
↓
S 65.671856°
E 96.569824°		 ← 125.82 m →
15 832 m²		 S 65.671856°
E 96.572571°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768253326416016 y=0.744228363037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768253326416016 × 217)
    floor (0.768253326416016 × 131072)
    floor (100696.5)     		tx = 100696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744228363037109 × 217)
    floor (0.744228363037109 × 131072)
    floor (97547.5)     		ty = 97547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100696 / 97547 ti = "17/100696/97547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100696/97547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100696 ÷ 217
    100696 ÷ 131072     		x = 0.76824951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97547 ÷ 217
    97547 ÷ 131072     		y = 0.744224548339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76824951171875 × 2 - 1) × π
    0.5364990234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.68546139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744224548339844 × 2 - 1) × π
    -0.488449096679688 × 3.1415926535     		Φ = -1.53450809373762
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68546139} λ = 1.68546139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53450809373762))-π/2
    2×atan(0.215561701244867)-π/2
    2×0.212312981794685-π/2
    0.42462596358937-1.57079632675     		φ = -1.14617036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68546139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.569824°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14617036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.670724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100696 KachelY 97547 1.68546139 -1.14617036 96.569824 -65.670724
    Oben rechts KachelX + 1 100697 KachelY 97547 1.68550933 -1.14617036 96.572571 -65.670724
    Unten links KachelX 100696 KachelY + 1 97548 1.68546139 -1.14619011 96.569824 -65.671856
    Unten rechts KachelX + 1 100697 KachelY + 1 97548 1.68550933 -1.14619011 96.572571 -65.671856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14617036--1.14619011) × R
    1.97500000000961e-05 × 6371000     		dl = 125.827250000612m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14617036--1.14619011) × R
    1.97500000000961e-05 × 6371000     		dr = 125.827250000612m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68546139-1.68550933) × cos(-1.14617036) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.411979994172099 × 6371000     		do = 125.829294585126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68546139-1.68550933) × cos(-1.14619011) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.411961998032156 × 6371000     		du = 125.823798100767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14617036)-sin(-1.14619011))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411979994172099-0.411961998032156)×R²
    abs(1.68550933-1.68546139)×1.79961399428552e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79961399428552e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79961399428552e-05×40589641000000     		ar = 15832.4083039672m²