Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100694 / 97782
↖ ↑ ↗
← S 65.935274°
E 96.564331°		 ← 124.52 m → S 65.935274°
E 96.567077°		 →
↑
124.55 m
↓
↑
124.55 m
↓
S 65.936394°
E 96.564331°		 ← 124.51 m →
15 509 m²		 S 65.936394°
E 96.567077°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768238067626953 y=0.746021270751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768238067626953 × 217)
    floor (0.768238067626953 × 131072)
    floor (100694.5)     		tx = 100694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746021270751953 × 217)
    floor (0.746021270751953 × 131072)
    floor (97782.5)     		ty = 97782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100694 / 97782 ti = "17/100694/97782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100694/97782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100694 ÷ 217
    100694 ÷ 131072     		x = 0.768234252929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97782 ÷ 217
    97782 ÷ 131072     		y = 0.746017456054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768234252929688 × 2 - 1) × π
    0.536468505859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.68536552
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746017456054688 × 2 - 1) × π
    -0.492034912109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54577326514833
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68536552} λ = 1.68536552}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54577326514833))-π/2
    2×atan(0.213146988344481)-π/2
    2×0.21000434649754-π/2
    0.420008692995079-1.57079632675     		φ = -1.15078763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68536552} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.564331°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15078763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.935274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100694 KachelY 97782 1.68536552 -1.15078763 96.564331 -65.935274
    Oben rechts KachelX + 1 100695 KachelY 97782 1.68541345 -1.15078763 96.567077 -65.935274
    Unten links KachelX 100694 KachelY + 1 97783 1.68536552 -1.15080718 96.564331 -65.936394
    Unten rechts KachelX + 1 100695 KachelY + 1 97783 1.68541345 -1.15080718 96.567077 -65.936394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15078763--1.15080718) × R
    1.95499999999793e-05 × 6371000     		dl = 124.553049999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15078763--1.15080718) × R
    1.95499999999793e-05 × 6371000     		dr = 124.553049999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68536552-1.68541345) × cos(-1.15078763) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.407768393991386 × 6371000     		do = 124.516984559126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68536552-1.68541345) × cos(-1.15080718) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.407750543094008 × 6371000     		du = 124.511533572865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15078763)-sin(-1.15080718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407768393991386-0.407750543094008)×R²
    abs(1.68541345-1.68536552)×1.78508973779357e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.78508973779357e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.78508973779357e-05×40589641000000     		ar = 15508.6307356134m²