Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100693 / 102097
↖ ↑ ↗
← S 70.334457°
E 96.561584°		 ← 102.78 m → S 70.334457°
E 96.564331°		 →
↑
102.83 m
↓
↑
102.83 m
↓
S 70.335382°
E 96.561584°		 ← 102.78 m →
10 569 m²		 S 70.335382°
E 96.564331°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100693 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768230438232422 y=0.778942108154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768230438232422 × 217)
    floor (0.768230438232422 × 131072)
    floor (100693.5)     		tx = 100693
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778942108154297 × 217)
    floor (0.778942108154297 × 131072)
    floor (102097.5)     		ty = 102097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100693 / 102097 ti = "17/100693/102097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100693/102097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100693 ÷ 217
    100693 ÷ 131072     		x = 0.768226623535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102097 ÷ 217
    102097 ÷ 131072     		y = 0.778938293457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768226623535156 × 2 - 1) × π
    0.536453247070312 × 3.1415926535     		Λ = 1.68531758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778938293457031 × 2 - 1) × π
    -0.557876586914062 × 3.1415926535     		Φ = -1.75262098700887
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68531758} λ = 1.68531758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75262098700887))-π/2
    2×atan(0.17331908055744)-π/2
    2×0.171614231298264-π/2
    0.343228462596527-1.57079632675     		φ = -1.22756786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68531758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.561584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22756786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.334457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100693 KachelY 102097 1.68531758 -1.22756786 96.561584 -70.334457
    Oben rechts KachelX + 1 100694 KachelY 102097 1.68536552 -1.22756786 96.564331 -70.334457
    Unten links KachelX 100693 KachelY + 1 102098 1.68531758 -1.22758400 96.561584 -70.335382
    Unten rechts KachelX + 1 100694 KachelY + 1 102098 1.68536552 -1.22758400 96.564331 -70.335382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22756786--1.22758400) × R
    1.61400000000533e-05 × 6371000     		dl = 102.82794000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22756786--1.22758400) × R
    1.61400000000533e-05 × 6371000     		dr = 102.82794000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68531758-1.68536552) × cos(-1.22756786) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.336529001020767 × 6371000     		do = 102.784619168161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68531758-1.68536552) × cos(-1.22758400) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.336513802373065 × 6371000     		du = 102.77997710994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22756786)-sin(-1.22758400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336529001020767-0.336513802373065)×R²
    abs(1.68536552-1.68531758)×1.51986477023303e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51986477023303e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51986477023303e-05×40589641000000     		ar = 10568.8919863849m²