Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100692 / 99989
↖ ↑ ↗
← S 68.290732°
E 96.558838°		 ← 112.98 m → S 68.290732°
E 96.561584°		 →
↑
112.96 m
↓
↑
112.96 m
↓
S 68.291748°
E 96.558838°		 ← 112.97 m →
12 761 m²		 S 68.291748°
E 96.561584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768222808837891 y=0.762859344482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768222808837891 × 217)
    floor (0.768222808837891 × 131072)
    floor (100692.5)     		tx = 100692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762859344482422 × 217)
    floor (0.762859344482422 × 131072)
    floor (99989.5)     		ty = 99989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100692 / 99989 ti = "17/100692/99989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100692/99989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100692 ÷ 217
    100692 ÷ 131072     		x = 0.768218994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99989 ÷ 217
    99989 ÷ 131072     		y = 0.762855529785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768218994140625 × 2 - 1) × π
    0.53643798828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.68526964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762855529785156 × 2 - 1) × π
    -0.525711059570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.65157000260979
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68526964} λ = 1.68526964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65157000260979))-π/2
    2×atan(0.191748626331885)-π/2
    2×0.189449104252348-π/2
    0.378898208504696-1.57079632675     		φ = -1.19189812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68526964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.558838°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19189812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.290732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100692 KachelY 99989 1.68526964 -1.19189812 96.558838 -68.290732
    Oben rechts KachelX + 1 100693 KachelY 99989 1.68531758 -1.19189812 96.561584 -68.290732
    Unten links KachelX 100692 KachelY + 1 99990 1.68526964 -1.19191585 96.558838 -68.291748
    Unten rechts KachelX + 1 100693 KachelY + 1 99990 1.68531758 -1.19191585 96.561584 -68.291748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19189812--1.19191585) × R
    1.77299999999381e-05 × 6371000     		dl = 112.957829999605m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19189812--1.19191585) × R
    1.77299999999381e-05 × 6371000     		dr = 112.957829999605m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68526964-1.68531758) × cos(-1.19189812) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369897048095595 × 6371000     		do = 112.976079638339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68526964-1.68531758) × cos(-1.19191585) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369880575577609 × 6371000     		du = 112.971048507343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19189812)-sin(-1.19191585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369897048095595-0.369880575577609)×R²
    abs(1.68531758-1.68526964)×1.64725179863101e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64725179863101e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64725179863101e-05×40589641000000     		ar = 12761.2486453741m²