Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100691 / 98150
↖ ↑ ↗
← S 66.344118°
E 96.556092°		 ← 122.52 m → S 66.344118°
E 96.558838°		 →
↑
122.58 m
↓
↑
122.58 m
↓
S 66.345220°
E 96.556092°		 ← 122.52 m →
15 018 m²		 S 66.345220°
E 96.558838°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768215179443359 y=0.748828887939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768215179443359 × 217)
    floor (0.768215179443359 × 131072)
    floor (100691.5)     		tx = 100691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748828887939453 × 217)
    floor (0.748828887939453 × 131072)
    floor (98150.5)     		ty = 98150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100691 / 98150 ti = "17/100691/98150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100691/98150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100691 ÷ 217
    100691 ÷ 131072     		x = 0.768211364746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98150 ÷ 217
    98150 ÷ 131072     		y = 0.748825073242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768211364746094 × 2 - 1) × π
    0.536422729492188 × 3.1415926535     		Λ = 1.68522171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748825073242188 × 2 - 1) × π
    -0.497650146484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.56341404420851
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68522171} λ = 1.68522171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56341404420851))-π/2
    2×atan(0.209419880612689)-π/2
    2×0.206436512749142-π/2
    0.412873025498284-1.57079632675     		φ = -1.15792330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68522171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.556092°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15792330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.344118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100691 KachelY 98150 1.68522171 -1.15792330 96.556092 -66.344118
    Oben rechts KachelX + 1 100692 KachelY 98150 1.68526964 -1.15792330 96.558838 -66.344118
    Unten links KachelX 100691 KachelY + 1 98151 1.68522171 -1.15794254 96.556092 -66.345220
    Unten rechts KachelX + 1 100692 KachelY + 1 98151 1.68526964 -1.15794254 96.558838 -66.345220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15792330--1.15794254) × R
    1.9240000000087e-05 × 6371000     		dl = 122.578040000554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15792330--1.15794254) × R
    1.9240000000087e-05 × 6371000     		dr = 122.578040000554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68522171-1.68526964) × cos(-1.15792330) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.401242591941687 × 6371000     		do = 122.52425239785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68522171-1.68526964) × cos(-1.15794254) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.401224968569528 × 6371000     		du = 122.518870889152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15792330)-sin(-1.15794254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401242591941687-0.401224968569528)×R²
    abs(1.68526964-1.68522171)×1.76233721588259e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.76233721588259e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.76233721588259e-05×40589641000000     		ar = 15018.4528846544m²