Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100691 / 97555
↖ ↑ ↗
← S 65.679775°
E 96.556092°		 ← 125.76 m → S 65.679775°
E 96.558838°		 →
↑
125.76 m
↓
↑
125.76 m
↓
S 65.680906°
E 96.556092°		 ← 125.75 m →
15 816 m²		 S 65.680906°
E 96.558838°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768215179443359 y=0.744289398193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768215179443359 × 217)
    floor (0.768215179443359 × 131072)
    floor (100691.5)     		tx = 100691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744289398193359 × 217)
    floor (0.744289398193359 × 131072)
    floor (97555.5)     		ty = 97555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100691 / 97555 ti = "17/100691/97555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100691/97555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100691 ÷ 217
    100691 ÷ 131072     		x = 0.768211364746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97555 ÷ 217
    97555 ÷ 131072     		y = 0.744285583496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768211364746094 × 2 - 1) × π
    0.536422729492188 × 3.1415926535     		Λ = 1.68522171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744285583496094 × 2 - 1) × π
    -0.488571166992188 × 3.1415926535     		Φ = -1.53489158893458
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68522171} λ = 1.68522171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53489158893458))-π/2
    2×atan(0.21547905021694)-π/2
    2×0.212233999421598-π/2
    0.424467998843196-1.57079632675     		φ = -1.14632833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68522171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.556092°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14632833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.679775°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100691 KachelY 97555 1.68522171 -1.14632833 96.556092 -65.679775
    Oben rechts KachelX + 1 100692 KachelY 97555 1.68526964 -1.14632833 96.558838 -65.679775
    Unten links KachelX 100691 KachelY + 1 97556 1.68522171 -1.14634807 96.556092 -65.680906
    Unten rechts KachelX + 1 100692 KachelY + 1 97556 1.68526964 -1.14634807 96.558838 -65.680906
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14632833--1.14634807) × R
    1.97399999999348e-05 × 6371000     		dl = 125.763539999585m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14632833--1.14634807) × R
    1.97399999999348e-05 × 6371000     		dr = 125.763539999585m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68522171-1.68526964) × cos(-1.14632833) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.411836047891342 × 6371000     		do = 125.759091611355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68522171-1.68526964) × cos(-1.14634807) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.411818059578974 × 6371000     		du = 125.753598663773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14632833)-sin(-1.14634807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411836047891342-0.411818059578974)×R²
    abs(1.68526964-1.68522171)×1.79883123687108e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.79883123687108e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.79883123687108e-05×40589641000000     		ar = 15815.5631424967m²