Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100691 / 97545
↖ ↑ ↗
← S 65.668461°
E 96.556092°		 ← 125.81 m → S 65.668461°
E 96.558838°		 →
↑
125.83 m
↓
↑
125.83 m
↓
S 65.669593°
E 96.556092°		 ← 125.81 m →
15 830 m²		 S 65.669593°
E 96.558838°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768215179443359 y=0.744213104248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768215179443359 × 217)
    floor (0.768215179443359 × 131072)
    floor (100691.5)     		tx = 100691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744213104248047 × 217)
    floor (0.744213104248047 × 131072)
    floor (97545.5)     		ty = 97545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100691 / 97545 ti = "17/100691/97545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100691/97545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100691 ÷ 217
    100691 ÷ 131072     		x = 0.768211364746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97545 ÷ 217
    97545 ÷ 131072     		y = 0.744209289550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768211364746094 × 2 - 1) × π
    0.536422729492188 × 3.1415926535     		Λ = 1.68522171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744209289550781 × 2 - 1) × π
    -0.488418579101562 × 3.1415926535     		Φ = -1.53441221993838
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68522171} λ = 1.68522171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53441221993838))-π/2
    2×atan(0.215582368954866)-π/2
    2×0.212332731700825-π/2
    0.424665463401649-1.57079632675     		φ = -1.14613086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68522171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.556092°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14613086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.668461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100691 KachelY 97545 1.68522171 -1.14613086 96.556092 -65.668461
    Oben rechts KachelX + 1 100692 KachelY 97545 1.68526964 -1.14613086 96.558838 -65.668461
    Unten links KachelX 100691 KachelY + 1 97546 1.68522171 -1.14615061 96.556092 -65.669593
    Unten rechts KachelX + 1 100692 KachelY + 1 97546 1.68526964 -1.14615061 96.558838 -65.669593
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14613086--1.14615061) × R
    1.97500000000961e-05 × 6371000     		dl = 125.827250000612m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14613086--1.14615061) × R
    1.97500000000961e-05 × 6371000     		dr = 125.827250000612m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68522171-1.68526964) × cos(-1.14613086) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.412015985969884 × 6371000     		do = 125.814037868292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68522171-1.68526964) × cos(-1.14615061) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.411997990151344 × 6371000     		du = 125.808542628611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14613086)-sin(-1.14615061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412015985969884-0.411997990151344)×R²
    abs(1.68526964-1.68522171)×1.79958185399509e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.79958185399509e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.79958185399509e-05×40589641000000     		ar = 15830.4886715191m²