Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100690 / 97843
↖ ↑ ↗
← S 66.003502°
E 96.553345°		 ← 124.21 m → S 66.003502°
E 96.556092°		 →
↑
124.17 m
↓
↑
124.17 m
↓
S 66.004618°
E 96.553345°		 ← 124.21 m →
15 423 m²		 S 66.004618°
E 96.556092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97843 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768207550048828 y=0.746486663818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768207550048828 × 217)
    floor (0.768207550048828 × 131072)
    floor (100690.5)     		tx = 100690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746486663818359 × 217)
    floor (0.746486663818359 × 131072)
    floor (97843.5)     		ty = 97843
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100690 / 97843 ti = "17/100690/97843"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100690/97843.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100690 ÷ 217
    100690 ÷ 131072     		x = 0.768203735351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97843 ÷ 217
    97843 ÷ 131072     		y = 0.746482849121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768203735351562 × 2 - 1) × π
    0.536407470703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.68517377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746482849121094 × 2 - 1) × π
    -0.492965698242188 × 3.1415926535     		Φ = -1.54869741602515
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68517377} λ = 1.68517377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54869741602515))-π/2
    2×atan(0.212524624777574)-π/2
    2×0.209408953693128-π/2
    0.418817907386257-1.57079632675     		φ = -1.15197842
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68517377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.553345°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15197842 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.003502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100690 KachelY 97843 1.68517377 -1.15197842 96.553345 -66.003502
    Oben rechts KachelX + 1 100691 KachelY 97843 1.68522171 -1.15197842 96.556092 -66.003502
    Unten links KachelX 100690 KachelY + 1 97844 1.68517377 -1.15199791 96.553345 -66.004618
    Unten rechts KachelX + 1 100691 KachelY + 1 97844 1.68522171 -1.15199791 96.556092 -66.004618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15197842--1.15199791) × R
    1.94899999998999e-05 × 6371000     		dl = 124.170789999362m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15197842--1.15199791) × R
    1.94899999998999e-05 × 6371000     		dr = 124.170789999362m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68517377-1.68522171) × cos(-1.15197842) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.406680812188095 × 6371000     		do = 124.210788006269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68517377-1.68522171) × cos(-1.15199791) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.406663006625453 × 6371000     		du = 124.205349729122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15197842)-sin(-1.15199791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406680812188095-0.406663006625453)×R²
    abs(1.68522171-1.68517377)×1.7805562642248e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.7805562642248e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.7805562642248e-05×40589641000000     		ar = 15423.0140361523m²