Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100690 / 102130
↖ ↑ ↗
← S 70.364937°
E 96.553345°		 ← 102.63 m → S 70.364937°
E 96.556092°		 →
↑
102.64 m
↓
↑
102.64 m
↓
S 70.365860°
E 96.553345°		 ← 102.63 m →
10 534 m²		 S 70.365860°
E 96.556092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768207550048828 y=0.779193878173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768207550048828 × 217)
    floor (0.768207550048828 × 131072)
    floor (100690.5)     		tx = 100690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779193878173828 × 217)
    floor (0.779193878173828 × 131072)
    floor (102130.5)     		ty = 102130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100690 / 102130 ti = "17/100690/102130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100690/102130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100690 ÷ 217
    100690 ÷ 131072     		x = 0.768203735351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102130 ÷ 217
    102130 ÷ 131072     		y = 0.779190063476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768203735351562 × 2 - 1) × π
    0.536407470703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.68517377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779190063476562 × 2 - 1) × π
    -0.558380126953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.75420290469633
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68517377} λ = 1.68517377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75420290469633))-π/2
    2×atan(0.173045120786367)-π/2
    2×0.17134824888387-π/2
    0.34269649776774-1.57079632675     		φ = -1.22809983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68517377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.553345°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22809983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.364937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100690 KachelY 102130 1.68517377 -1.22809983 96.553345 -70.364937
    Oben rechts KachelX + 1 100691 KachelY 102130 1.68522171 -1.22809983 96.556092 -70.364937
    Unten links KachelX 100690 KachelY + 1 102131 1.68517377 -1.22811594 96.553345 -70.365860
    Unten rechts KachelX + 1 100691 KachelY + 1 102131 1.68522171 -1.22811594 96.556092 -70.365860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22809983--1.22811594) × R
    1.61100000000136e-05 × 6371000     		dl = 102.636810000087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22809983--1.22811594) × R
    1.61100000000136e-05 × 6371000     		dr = 102.636810000087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68517377-1.68522171) × cos(-1.22809983) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.336028011586679 × 6371000     		do = 102.631604099523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68517377-1.68522171) × cos(-1.22811594) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.336012838307478 × 6371000     		du = 102.626969789495m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22809983)-sin(-1.22811594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336028011586679-0.336012838307478)×R²
    abs(1.68522171-1.68517377)×1.5173279200642e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5173279200642e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5173279200642e-05×40589641000000     		ar = 10533.5426247956m²