Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10069 / 2383
↖ ↑ ↗
← N 77.697553°
E 41.242676°		 ← 520.59 m → N 77.697553°
E 41.264648°		 →
↑
520.70 m
↓
↑
520.70 m
↓
N 77.692870°
E 41.242676°		 ← 520.79 m →
271 125 m²		 N 77.692870°
E 41.264648°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10069 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614593505859375 y=0.145477294921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614593505859375 × 214)
    floor (0.614593505859375 × 16384)
    floor (10069.5)     		tx = 10069
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145477294921875 × 214)
    floor (0.145477294921875 × 16384)
    floor (2383.5)     		ty = 2383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10069 / 2383 ti = "14/10069/2383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10069/2383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10069 ÷ 214
    10069 ÷ 16384     		x = 0.61456298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2383 ÷ 214
    2383 ÷ 16384     		y = 0.14544677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61456298828125 × 2 - 1) × π
    0.2291259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.71982048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14544677734375 × 2 - 1) × π
    0.7091064453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.22772359914325
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71982048} λ = 0.71982048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22772359914325))-π/2
    2×atan(9.27871993405598)-π/2
    2×1.46343722345974-π/2
    2.92687444691949-1.57079632675     		φ = 1.35607812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71982048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.242676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35607812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.697553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10069 KachelY 2383 0.71982048 1.35607812 41.242676 77.697553
    Oben rechts KachelX + 1 10070 KachelY 2383 0.72020398 1.35607812 41.264648 77.697553
    Unten links KachelX 10069 KachelY + 1 2384 0.71982048 1.35599639 41.242676 77.692870
    Unten rechts KachelX + 1 10070 KachelY + 1 2384 0.72020398 1.35599639 41.264648 77.692870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35607812-1.35599639) × R
    8.17300000000021e-05 × 6371000     		dl = 520.701830000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35607812-1.35599639) × R
    8.17300000000021e-05 × 6371000     		dr = 520.701830000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71982048-0.72020398) × cos(1.35607812) × R
    0.000383499999999981 × 0.213072114524309 × 6371000     		do = 520.594516366755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71982048-0.72020398) × cos(1.35599639) × R
    0.000383499999999981 × 0.213151967003705 × 6371000     		du = 520.789618212836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35607812)-sin(1.35599639))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213072114524309-0.213151967003705)×R²
    abs(0.72020398-0.71982048)×7.98524793962918e-05×R²
    0.000383499999999981×7.98524793962918e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.98524793962918e-05×40589641000000     		ar = 271125.312456046m²