Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100689 / 97556
↖ ↑ ↗
← S 65.680906°
E 96.550598°		 ← 125.78 m → S 65.680906°
E 96.553345°		 →
↑
125.76 m
↓
↑
125.76 m
↓
S 65.682037°
E 96.550598°		 ← 125.77 m →
15 818 m²		 S 65.682037°
E 96.553345°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768199920654297 y=0.744297027587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768199920654297 × 217)
    floor (0.768199920654297 × 131072)
    floor (100689.5)     		tx = 100689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744297027587891 × 217)
    floor (0.744297027587891 × 131072)
    floor (97556.5)     		ty = 97556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100689 / 97556 ti = "17/100689/97556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100689/97556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100689 ÷ 217
    100689 ÷ 131072     		x = 0.768196105957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97556 ÷ 217
    97556 ÷ 131072     		y = 0.744293212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768196105957031 × 2 - 1) × π
    0.536392211914062 × 3.1415926535     		Λ = 1.68512583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744293212890625 × 2 - 1) × π
    -0.48858642578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.5349395258342
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68512583} λ = 1.68512583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5349395258342))-π/2
    2×atan(0.215468721066915)-π/2
    2×0.212224128565505-π/2
    0.424448257131011-1.57079632675     		φ = -1.14634807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68512583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.550598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14634807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.680906°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100689 KachelY 97556 1.68512583 -1.14634807 96.550598 -65.680906
    Oben rechts KachelX + 1 100690 KachelY 97556 1.68517377 -1.14634807 96.553345 -65.680906
    Unten links KachelX 100689 KachelY + 1 97557 1.68512583 -1.14636781 96.550598 -65.682037
    Unten rechts KachelX + 1 100690 KachelY + 1 97557 1.68517377 -1.14636781 96.553345 -65.682037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14634807--1.14636781) × R
    1.97400000001569e-05 × 6371000     		dl = 125.763540000999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14634807--1.14636781) × R
    1.97400000001569e-05 × 6371000     		dr = 125.763540000999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68512583-1.68517377) × cos(-1.14634807) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.411818059578974 × 6371000     		do = 125.77983559219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68512583-1.68517377) × cos(-1.14636781) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.411800071106133 × 6371000     		du = 125.774341449561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14634807)-sin(-1.14636781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411818059578974-0.411800071106133)×R²
    abs(1.68517377-1.68512583)×1.79884728410129e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79884728410129e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79884728410129e-05×40589641000000     		ar = 15818.1719038611m²