Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100688 / 97808
↖ ↑ ↗
← S 65.964377°
E 96.547852°		 ← 124.38 m → S 65.964377°
E 96.550598°		 →
↑
124.43 m
↓
↑
124.43 m
↓
S 65.965496°
E 96.547852°		 ← 124.37 m →
15 475 m²		 S 65.965496°
E 96.550598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768192291259766 y=0.746219635009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768192291259766 × 217)
    floor (0.768192291259766 × 131072)
    floor (100688.5)     		tx = 100688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746219635009766 × 217)
    floor (0.746219635009766 × 131072)
    floor (97808.5)     		ty = 97808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100688 / 97808 ti = "17/100688/97808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100688/97808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100688 ÷ 217
    100688 ÷ 131072     		x = 0.7681884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97808 ÷ 217
    97808 ÷ 131072     		y = 0.7462158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7681884765625 × 2 - 1) × π
    0.536376953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.68507790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7462158203125 × 2 - 1) × π
    -0.492431640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.54701962453845
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68507790} λ = 1.68507790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54701962453845))-π/2
    2×atan(0.21288149607784)-π/2
    2×0.20975037806679-π/2
    0.41950075613358-1.57079632675     		φ = -1.15129557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68507790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.547852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15129557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.964377°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100688 KachelY 97808 1.68507790 -1.15129557 96.547852 -65.964377
    Oben rechts KachelX + 1 100689 KachelY 97808 1.68512583 -1.15129557 96.550598 -65.964377
    Unten links KachelX 100688 KachelY + 1 97809 1.68507790 -1.15131510 96.547852 -65.965496
    Unten rechts KachelX + 1 100689 KachelY + 1 97809 1.68512583 -1.15131510 96.550598 -65.965496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15129557--1.15131510) × R
    1.95299999998788e-05 × 6371000     		dl = 124.425629999228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15129557--1.15131510) × R
    1.95299999998788e-05 × 6371000     		dr = 124.425629999228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68507790-1.68512583) × cos(-1.15129557) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.407304548813524 × 6371000     		do = 124.375343854008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68507790-1.68512583) × cos(-1.15131510) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.407286712135312 × 6371000     		du = 124.369897209741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15129557)-sin(-1.15131510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407304548813524-0.407286712135312)×R²
    abs(1.68512583-1.68507790)×1.78366782118133e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.78366782118133e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.78366782118133e-05×40589641000000     		ar = 15475.1416649234m²