Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100687 / 98737
↖ ↑ ↗
← S 66.982740°
E 96.545105°		 ← 119.42 m → S 66.982740°
E 96.547852°		 →
↑
119.39 m
↓
↑
119.39 m
↓
S 66.983814°
E 96.545105°		 ← 119.42 m →
14 258 m²		 S 66.983814°
E 96.547852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768184661865234 y=0.753307342529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768184661865234 × 217)
    floor (0.768184661865234 × 131072)
    floor (100687.5)     		tx = 100687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753307342529297 × 217)
    floor (0.753307342529297 × 131072)
    floor (98737.5)     		ty = 98737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100687 / 98737 ti = "17/100687/98737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100687/98737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100687 ÷ 217
    100687 ÷ 131072     		x = 0.768180847167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98737 ÷ 217
    98737 ÷ 131072     		y = 0.753303527832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768180847167969 × 2 - 1) × π
    0.536361694335938 × 3.1415926535     		Λ = 1.68502996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753303527832031 × 2 - 1) × π
    -0.506607055664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.59155300428548
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68502996} λ = 1.68502996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59155300428548))-π/2
    2×atan(0.203609160174187)-π/2
    2×0.200863485278704-π/2
    0.401726970557408-1.57079632675     		φ = -1.16906936
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68502996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.545105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16906936 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.982740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100687 KachelY 98737 1.68502996 -1.16906936 96.545105 -66.982740
    Oben rechts KachelX + 1 100688 KachelY 98737 1.68507790 -1.16906936 96.547852 -66.982740
    Unten links KachelX 100687 KachelY + 1 98738 1.68502996 -1.16908810 96.545105 -66.983814
    Unten rechts KachelX + 1 100688 KachelY + 1 98738 1.68507790 -1.16908810 96.547852 -66.983814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16906936--1.16908810) × R
    1.87400000000171e-05 × 6371000     		dl = 119.392540000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16906936--1.16908810) × R
    1.87400000000171e-05 × 6371000     		dr = 119.392540000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68502996-1.68507790) × cos(-1.16906936) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.391008402567435 × 6371000     		do = 119.424030700298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68502996-1.68507790) × cos(-1.16908810) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.390991154444368 × 6371000     		du = 119.418762679547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16906936)-sin(-1.16908810))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391008402567435-0.390991154444368)×R²
    abs(1.68507790-1.68502996)×1.72481230671928e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.72481230671928e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.72481230671928e-05×40589641000000     		ar = 14258.0238815557m²