Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100687 / 97852
↖ ↑ ↗
← S 66.013552°
E 96.545105°		 ← 124.16 m → S 66.013552°
E 96.547852°		 →
↑
124.17 m
↓
↑
124.17 m
↓
S 66.014669°
E 96.545105°		 ← 124.16 m →
15 417 m²		 S 66.014669°
E 96.547852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768184661865234 y=0.746555328369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768184661865234 × 217)
    floor (0.768184661865234 × 131072)
    floor (100687.5)     		tx = 100687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746555328369141 × 217)
    floor (0.746555328369141 × 131072)
    floor (97852.5)     		ty = 97852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100687 / 97852 ti = "17/100687/97852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100687/97852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100687 ÷ 217
    100687 ÷ 131072     		x = 0.768180847167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97852 ÷ 217
    97852 ÷ 131072     		y = 0.746551513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768180847167969 × 2 - 1) × π
    0.536361694335938 × 3.1415926535     		Λ = 1.68502996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746551513671875 × 2 - 1) × π
    -0.49310302734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54912884812173
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68502996} λ = 1.68502996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54912884812173))-π/2
    2×atan(0.21243295460928)-π/2
    2×0.209321243402099-π/2
    0.418642486804199-1.57079632675     		φ = -1.15215384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68502996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.545105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15215384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.013552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100687 KachelY 97852 1.68502996 -1.15215384 96.545105 -66.013552
    Oben rechts KachelX + 1 100688 KachelY 97852 1.68507790 -1.15215384 96.547852 -66.013552
    Unten links KachelX 100687 KachelY + 1 97853 1.68502996 -1.15217333 96.545105 -66.014669
    Unten rechts KachelX + 1 100688 KachelY + 1 97853 1.68507790 -1.15217333 96.547852 -66.014669
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15215384--1.15217333) × R
    1.94900000001219e-05 × 6371000     		dl = 124.170790000777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15215384--1.15217333) × R
    1.94900000001219e-05 × 6371000     		dr = 124.170790000777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68502996-1.68507790) × cos(-1.15215384) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.406520547427365 × 6371000     		do = 124.161839023127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68502996-1.68507790) × cos(-1.15217333) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.406502740474611 × 6371000     		du = 124.156400321405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15215384)-sin(-1.15217333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406520547427365-0.406502740474611)×R²
    abs(1.68507790-1.68502996)×1.78069527536073e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.78069527536073e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.78069527536073e-05×40589641000000     		ar = 15416.9359761024m²