Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100686 / 98741
↖ ↑ ↗
← S 66.987035°
E 96.542358°		 ← 119.40 m → S 66.987035°
E 96.545105°		 →
↑
119.39 m
↓
↑
119.39 m
↓
S 66.988109°
E 96.542358°		 ← 119.40 m →
14 256 m²		 S 66.988109°
E 96.545105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768177032470703 y=0.753337860107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768177032470703 × 217)
    floor (0.768177032470703 × 131072)
    floor (100686.5)     		tx = 100686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753337860107422 × 217)
    floor (0.753337860107422 × 131072)
    floor (98741.5)     		ty = 98741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100686 / 98741 ti = "17/100686/98741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100686/98741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100686 ÷ 217
    100686 ÷ 131072     		x = 0.768173217773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98741 ÷ 217
    98741 ÷ 131072     		y = 0.753334045410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768173217773438 × 2 - 1) × π
    0.536346435546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.68498202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753334045410156 × 2 - 1) × π
    -0.506668090820312 × 3.1415926535     		Φ = -1.59174475188396
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68498202} λ = 1.68498202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59174475188396))-π/2
    2×atan(0.203570122349519)-π/2
    2×0.200826001125055-π/2
    0.40165200225011-1.57079632675     		φ = -1.16914432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68498202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.542358°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16914432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.987035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100686 KachelY 98741 1.68498202 -1.16914432 96.542358 -66.987035
    Oben rechts KachelX + 1 100687 KachelY 98741 1.68502996 -1.16914432 96.545105 -66.987035
    Unten links KachelX 100686 KachelY + 1 98742 1.68498202 -1.16916306 96.542358 -66.988109
    Unten rechts KachelX + 1 100687 KachelY + 1 98742 1.68502996 -1.16916306 96.545105 -66.988109
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16914432--1.16916306) × R
    1.87400000000171e-05 × 6371000     		dl = 119.392540000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16914432--1.16916306) × R
    1.87400000000171e-05 × 6371000     		dr = 119.392540000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68498202-1.68502996) × cos(-1.16914432) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.390939409251323 × 6371000     		do = 119.40295836567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68498202-1.68502996) × cos(-1.16916306) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.390922160579047 × 6371000     		du = 119.397690177176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16914432)-sin(-1.16916306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390939409251323-0.390922160579047)×R²
    abs(1.68502996-1.68498202)×1.72486722757603e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.72486722757603e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.72486722757603e-05×40589641000000     		ar = 14255.5079920333m²