Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100682 / 98504
↖ ↑ ↗
← S 66.731223°
E 96.531372°		 ← 120.66 m → S 66.731223°
E 96.534119°		 →
↑
120.60 m
↓
↑
120.60 m
↓
S 66.732308°
E 96.531372°		 ← 120.65 m →
14 551 m²		 S 66.732308°
E 96.534119°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768146514892578 y=0.751529693603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768146514892578 × 217)
    floor (0.768146514892578 × 131072)
    floor (100682.5)     		tx = 100682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751529693603516 × 217)
    floor (0.751529693603516 × 131072)
    floor (98504.5)     		ty = 98504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100682 / 98504 ti = "17/100682/98504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100682/98504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100682 ÷ 217
    100682 ÷ 131072     		x = 0.768142700195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98504 ÷ 217
    98504 ÷ 131072     		y = 0.75152587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768142700195312 × 2 - 1) × π
    0.536285400390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.68479027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75152587890625 × 2 - 1) × π
    -0.5030517578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.58038370667401
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68479027} λ = 1.68479027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58038370667401))-π/2
    2×atan(0.205896079346023)-π/2
    2×0.203058385453451-π/2
    0.406116770906902-1.57079632675     		φ = -1.16467956
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68479027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.531372°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16467956 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.731223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100682 KachelY 98504 1.68479027 -1.16467956 96.531372 -66.731223
    Oben rechts KachelX + 1 100683 KachelY 98504 1.68483821 -1.16467956 96.534119 -66.731223
    Unten links KachelX 100682 KachelY + 1 98505 1.68479027 -1.16469849 96.531372 -66.732308
    Unten rechts KachelX + 1 100683 KachelY + 1 98505 1.68483821 -1.16469849 96.534119 -66.732308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16467956--1.16469849) × R
    1.89299999999726e-05 × 6371000     		dl = 120.603029999825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16467956--1.16469849) × R
    1.89299999999726e-05 × 6371000     		dr = 120.603029999825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68479027-1.68483821) × cos(-1.16467956) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.395044937491908 × 6371000     		do = 120.656892366641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68479027-1.68483821) × cos(-1.16469849) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.395027547153309 × 6371000     		du = 120.651580909605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16467956)-sin(-1.16469849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395044937491908-0.395027547153309)×R²
    abs(1.68483821-1.68479027)×1.73903385983221e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.73903385983221e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.73903385983221e-05×40589641000000     		ar = 14551.2665213024m²