Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100681 / 98505
↖ ↑ ↗
← S 66.732308°
E 96.528626°		 ← 120.63 m → S 66.732308°
E 96.531372°		 →
↑
120.67 m
↓
↑
120.67 m
↓
S 66.733393°
E 96.528626°		 ← 120.62 m →
14 555 m²		 S 66.733393°
E 96.531372°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768138885498047 y=0.751537322998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768138885498047 × 217)
    floor (0.768138885498047 × 131072)
    floor (100681.5)     		tx = 100681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751537322998047 × 217)
    floor (0.751537322998047 × 131072)
    floor (98505.5)     		ty = 98505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100681 / 98505 ti = "17/100681/98505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100681/98505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100681 ÷ 217
    100681 ÷ 131072     		x = 0.768135070800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98505 ÷ 217
    98505 ÷ 131072     		y = 0.751533508300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768135070800781 × 2 - 1) × π
    0.536270141601562 × 3.1415926535     		Λ = 1.68474234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751533508300781 × 2 - 1) × π
    -0.503067016601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.58043164357363
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68474234} λ = 1.68474234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58043164357363))-π/2
    2×atan(0.205886209562901)-π/2
    2×0.20304891704709-π/2
    0.406097834094179-1.57079632675     		φ = -1.16469849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68474234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.528626°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16469849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.732308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100681 KachelY 98505 1.68474234 -1.16469849 96.528626 -66.732308
    Oben rechts KachelX + 1 100682 KachelY 98505 1.68479027 -1.16469849 96.531372 -66.732308
    Unten links KachelX 100681 KachelY + 1 98506 1.68474234 -1.16471743 96.528626 -66.733393
    Unten rechts KachelX + 1 100682 KachelY + 1 98506 1.68479027 -1.16471743 96.531372 -66.733393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16469849--1.16471743) × R
    1.89400000001338e-05 × 6371000     		dl = 120.666740000853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16469849--1.16471743) × R
    1.89400000001338e-05 × 6371000     		dr = 120.666740000853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68474234-1.68479027) × cos(-1.16469849) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.395027547153309 × 6371000     		do = 120.626413704729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68474234-1.68479027) × cos(-1.16471743) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.395010147486387 × 6371000     		du = 120.621100507116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16469849)-sin(-1.16471743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395027547153309-0.395010147486387)×R²
    abs(1.68479027-1.68474234)×1.73996669221022e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.73996669221022e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.73996669221022e-05×40589641000000     		ar = 14555.2755370548m²