Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10068 / 2380
↖ ↑ ↗
← N 77.711590°
E 41.220703°		 ← 520 m → N 77.711590°
E 41.242676°		 →
↑
520.13 m
↓
↑
520.13 m
↓
N 77.706913°
E 41.220703°		 ← 520.19 m →
270 515 m²		 N 77.706913°
E 41.242676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614532470703125 y=0.145294189453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614532470703125 × 214)
    floor (0.614532470703125 × 16384)
    floor (10068.5)     		tx = 10068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145294189453125 × 214)
    floor (0.145294189453125 × 16384)
    floor (2380.5)     		ty = 2380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10068 / 2380 ti = "14/10068/2380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10068/2380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10068 ÷ 214
    10068 ÷ 16384     		x = 0.614501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2380 ÷ 214
    2380 ÷ 16384     		y = 0.145263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.614501953125 × 2 - 1) × π
    0.22900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.71943699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145263671875 × 2 - 1) × π
    0.70947265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.22887408473413
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71943699} λ = 0.71943699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22887408473413))-π/2
    2×atan(9.28940111073372)-π/2
    2×1.46355972279565-π/2
    2.92711944559129-1.57079632675     		φ = 1.35632312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71943699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.220703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35632312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.711590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10068 KachelY 2380 0.71943699 1.35632312 41.220703 77.711590
    Oben rechts KachelX + 1 10069 KachelY 2380 0.71982048 1.35632312 41.242676 77.711590
    Unten links KachelX 10068 KachelY + 1 2381 0.71943699 1.35624148 41.220703 77.706913
    Unten rechts KachelX + 1 10069 KachelY + 1 2381 0.71982048 1.35624148 41.242676 77.706913
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35632312-1.35624148) × R
    8.1640000000105e-05 × 6371000     		dl = 520.128440000669m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35632312-1.35624148) × R
    8.1640000000105e-05 × 6371000     		dr = 520.128440000669m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71943699-0.71982048) × cos(1.35632312) × R
    0.000383489999999931 × 0.212832734195435 × 6371000     		do = 519.996083982331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71943699-0.71982048) × cos(1.35624148) × R
    0.000383489999999931 × 0.212912503003345 × 6371000     		du = 520.190976313597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35632312)-sin(1.35624148))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212832734195435-0.212912503003345)×R²
    abs(0.71982048-0.71943699)×7.97688079099135e-05×R²
    0.000383489999999931×7.97688079099135e-05×6371000²
    0.000383489999999931×7.97688079099135e-05×40589641000000     		ar = 270515.436641193m²