Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10068 / 14332
↖ ↑ ↗
← N 70.619907°
W124.694824°		 ← 202.68 m → N 70.619907°
W124.689331°		 →
↑
202.66 m
↓
↑
202.66 m
↓
N 70.618084°
W124.694824°		 ← 202.70 m →
41 077 m²		 N 70.618084°
W124.689331°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.153633117675781 y=0.218696594238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.153633117675781 × 216)
    floor (0.153633117675781 × 65536)
    floor (10068.5)     		tx = 10068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218696594238281 × 216)
    floor (0.218696594238281 × 65536)
    floor (14332.5)     		ty = 14332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10068 / 14332 ti = "16/10068/14332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10068/14332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10068 ÷ 216
    10068 ÷ 65536     		x = 0.15362548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14332 ÷ 216
    14332 ÷ 65536     		y = 0.21868896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15362548828125 × 2 - 1) × π
    -0.6927490234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.17633524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21868896484375 × 2 - 1) × π
    0.5626220703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.76752936279071
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.17633524} λ = -2.17633524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76752936279071))-π/2
    2×atan(5.85636651585652)-π/2
    2×1.40167310910393-π/2
    2.80334621820786-1.57079632675     		φ = 1.23254989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.17633524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.694824°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23254989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.619907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10068 KachelY 14332 -2.17633524 1.23254989 -124.694824 70.619907
    Oben rechts KachelX + 1 10069 KachelY 14332 -2.17623937 1.23254989 -124.689331 70.619907
    Unten links KachelX 10068 KachelY + 1 14333 -2.17633524 1.23251808 -124.694824 70.618084
    Unten rechts KachelX + 1 10069 KachelY + 1 14333 -2.17623937 1.23251808 -124.689331 70.618084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23254989-1.23251808) × R
    3.18100000000765e-05 × 6371000     		dl = 202.661510000487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23254989-1.23251808) × R
    3.18100000000765e-05 × 6371000     		dr = 202.661510000487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.17633524--2.17623937) × cos(1.23254989) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.331833400361564 × 6371000     		do = 202.679782618352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.17633524--2.17623937) × cos(1.23251808) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.331863407775657 × 6371000     		du = 202.69811077989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23254989)-sin(1.23251808))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331833400361564-0.331863407775657)×R²
    abs(-2.17623937--2.17633524)×3.00074140929252e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.00074140929252e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.00074140929252e-05×40589641000000     		ar = 41077.2480020445m²