Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100678 / 98473
↖ ↑ ↗
← S 66.697564°
E 96.520386°		 ← 120.80 m → S 66.697564°
E 96.523132°		 →
↑
120.79 m
↓
↑
120.79 m
↓
S 66.698651°
E 96.520386°		 ← 120.79 m →
14 591 m²		 S 66.698651°
E 96.523132°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100678 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768115997314453 y=0.751293182373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768115997314453 × 217)
    floor (0.768115997314453 × 131072)
    floor (100678.5)     		tx = 100678
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751293182373047 × 217)
    floor (0.751293182373047 × 131072)
    floor (98473.5)     		ty = 98473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100678 / 98473 ti = "17/100678/98473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100678/98473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100678 ÷ 217
    100678 ÷ 131072     		x = 0.768112182617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98473 ÷ 217
    98473 ÷ 131072     		y = 0.751289367675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768112182617188 × 2 - 1) × π
    0.536224365234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.68459853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751289367675781 × 2 - 1) × π
    -0.502578735351562 × 3.1415926535     		Φ = -1.57889766278579
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68459853} λ = 1.68459853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57889766278579))-π/2
    2×atan(0.206202277411878)-π/2
    2×0.203352112945466-π/2
    0.406704225890931-1.57079632675     		φ = -1.16409210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68459853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.520386°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16409210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.697564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100678 KachelY 98473 1.68459853 -1.16409210 96.520386 -66.697564
    Oben rechts KachelX + 1 100679 KachelY 98473 1.68464646 -1.16409210 96.523132 -66.697564
    Unten links KachelX 100678 KachelY + 1 98474 1.68459853 -1.16411106 96.520386 -66.698651
    Unten rechts KachelX + 1 100679 KachelY + 1 98474 1.68464646 -1.16411106 96.523132 -66.698651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16409210--1.16411106) × R
    1.89600000000123e-05 × 6371000     		dl = 120.794160000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16409210--1.16411106) × R
    1.89600000000123e-05 × 6371000     		dr = 120.794160000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68459853-1.68464646) × cos(-1.16409210) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.395584546353333 × 6371000     		do = 120.796500111157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68459853-1.68464646) × cos(-1.16411106) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.39556713285767 × 6371000     		du = 120.791182690772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16409210)-sin(-1.16411106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395584546353333-0.39556713285767)×R²
    abs(1.68464646-1.68459853)×1.74134956625327e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.74134956625327e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.74134956625327e-05×40589641000000     		ar = 14591.1906056847m²