Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100675 / 98509
↖ ↑ ↗
← S 66.736647°
E 96.512146°		 ← 120.61 m → S 66.736647°
E 96.514892°		 →
↑
120.60 m
↓
↑
120.60 m
↓
S 66.737732°
E 96.512146°		 ← 120.60 m →
14 545 m²		 S 66.737732°
E 96.514892°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100675 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768093109130859 y=0.751567840576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768093109130859 × 217)
    floor (0.768093109130859 × 131072)
    floor (100675.5)     		tx = 100675
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751567840576172 × 217)
    floor (0.751567840576172 × 131072)
    floor (98509.5)     		ty = 98509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100675 / 98509 ti = "17/100675/98509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100675/98509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100675 ÷ 217
    100675 ÷ 131072     		x = 0.768089294433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98509 ÷ 217
    98509 ÷ 131072     		y = 0.751564025878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768089294433594 × 2 - 1) × π
    0.536178588867188 × 3.1415926535     		Λ = 1.68445472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751564025878906 × 2 - 1) × π
    -0.503128051757812 × 3.1415926535     		Φ = -1.58062339117211
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68445472} λ = 1.68445472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58062339117211))-π/2
    2×atan(0.205846735161339)-π/2
    2×0.203011047591114-π/2
    0.406022095182227-1.57079632675     		φ = -1.16477423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68445472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.512146°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16477423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.736647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100675 KachelY 98509 1.68445472 -1.16477423 96.512146 -66.736647
    Oben rechts KachelX + 1 100676 KachelY 98509 1.68450265 -1.16477423 96.514892 -66.736647
    Unten links KachelX 100675 KachelY + 1 98510 1.68445472 -1.16479316 96.512146 -66.737732
    Unten rechts KachelX + 1 100676 KachelY + 1 98510 1.68450265 -1.16479316 96.514892 -66.737732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16477423--1.16479316) × R
    1.89300000001946e-05 × 6371000     		dl = 120.60303000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16477423--1.16479316) × R
    1.89300000001946e-05 × 6371000     		dr = 120.60303000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68445472-1.68450265) × cos(-1.16477423) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.394957966009434 × 6371000     		do = 120.605166265385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68445472-1.68450265) × cos(-1.16479316) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.394940574962967 × 6371000     		du = 120.599855700133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16477423)-sin(-1.16479316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394957966009434-0.394940574962967)×R²
    abs(1.68450265-1.68445472)×1.73910464661975e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.73910464661975e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.73910464661975e-05×40589641000000     		ar = 14545.028250851m²