Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100673 / 98511
↖ ↑ ↗
← S 66.738817°
E 96.506653°		 ← 120.62 m → S 66.738817°
E 96.509399°		 →
↑
120.60 m
↓
↑
120.60 m
↓
S 66.739902°
E 96.506653°		 ← 120.61 m →
14 547 m²		 S 66.739902°
E 96.509399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768077850341797 y=0.751583099365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768077850341797 × 217)
    floor (0.768077850341797 × 131072)
    floor (100673.5)     		tx = 100673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751583099365234 × 217)
    floor (0.751583099365234 × 131072)
    floor (98511.5)     		ty = 98511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100673 / 98511 ti = "17/100673/98511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100673/98511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100673 ÷ 217
    100673 ÷ 131072     		x = 0.768074035644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98511 ÷ 217
    98511 ÷ 131072     		y = 0.751579284667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768074035644531 × 2 - 1) × π
    0.536148071289062 × 3.1415926535     		Λ = 1.68435884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751579284667969 × 2 - 1) × π
    -0.503158569335938 × 3.1415926535     		Φ = -1.58071926497135
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68435884} λ = 1.68435884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58071926497135))-π/2
    2×atan(0.205827000798797)-π/2
    2×0.202992115364598-π/2
    0.405984230729196-1.57079632675     		φ = -1.16481210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68435884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.506653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16481210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.738817°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100673 KachelY 98511 1.68435884 -1.16481210 96.506653 -66.738817
    Oben rechts KachelX + 1 100674 KachelY 98511 1.68440678 -1.16481210 96.509399 -66.738817
    Unten links KachelX 100673 KachelY + 1 98512 1.68435884 -1.16483103 96.506653 -66.739902
    Unten rechts KachelX + 1 100674 KachelY + 1 98512 1.68440678 -1.16483103 96.509399 -66.739902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16481210--1.16483103) × R
    1.89299999999726e-05 × 6371000     		dl = 120.603029999825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16481210--1.16483103) × R
    1.89299999999726e-05 × 6371000     		dr = 120.603029999825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68435884-1.68440678) × cos(-1.16481210) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.394923174587835 × 6371000     		do = 120.61970284156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68435884-1.68440678) × cos(-1.16483103) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.394905783258251 × 6371000     		du = 120.614391081852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16481210)-sin(-1.16483103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394923174587835-0.394905783258251)×R²
    abs(1.68440678-1.68435884)×1.7391329584393e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.7391329584393e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.7391329584393e-05×40589641000000     		ar = 14546.7813335403m²