Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100673 / 97608
↖ ↑ ↗
← S 65.739656°
E 96.506653°		 ← 125.49 m → S 65.739656°
E 96.509399°		 →
↑
125.51 m
↓
↑
125.51 m
↓
S 65.740785°
E 96.506653°		 ← 125.49 m →
15 750 m²		 S 65.740785°
E 96.509399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768077850341797 y=0.744693756103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768077850341797 × 217)
    floor (0.768077850341797 × 131072)
    floor (100673.5)     		tx = 100673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744693756103516 × 217)
    floor (0.744693756103516 × 131072)
    floor (97608.5)     		ty = 97608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100673 / 97608 ti = "17/100673/97608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100673/97608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100673 ÷ 217
    100673 ÷ 131072     		x = 0.768074035644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97608 ÷ 217
    97608 ÷ 131072     		y = 0.74468994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768074035644531 × 2 - 1) × π
    0.536148071289062 × 3.1415926535     		Λ = 1.68435884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74468994140625 × 2 - 1) × π
    -0.4893798828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.53743224461444
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68435884} λ = 1.68435884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53743224461444))-π/2
    2×atan(0.214932287006752)-π/2
    2×0.211711437866167-π/2
    0.423422875732334-1.57079632675     		φ = -1.14737345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68435884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.506653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14737345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.739656°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100673 KachelY 97608 1.68435884 -1.14737345 96.506653 -65.739656
    Oben rechts KachelX + 1 100674 KachelY 97608 1.68440678 -1.14737345 96.509399 -65.739656
    Unten links KachelX 100673 KachelY + 1 97609 1.68435884 -1.14739315 96.506653 -65.740785
    Unten rechts KachelX + 1 100674 KachelY + 1 97609 1.68440678 -1.14739315 96.509399 -65.740785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14737345--1.14739315) × R
    1.97000000001779e-05 × 6371000     		dl = 125.508700001133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14737345--1.14739315) × R
    1.97000000001779e-05 × 6371000     		dr = 125.508700001133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68435884-1.68440678) × cos(-1.14737345) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.41088344922631 × 6371000     		do = 125.494381533616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68435884-1.68440678) × cos(-1.14739315) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.410865488895338 × 6371000     		du = 125.488895986238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14737345)-sin(-1.14739315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41088344922631-0.410865488895338)×R²
    abs(1.68440678-1.68435884)×1.79603309715115e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79603309715115e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79603309715115e-05×40589641000000     		ar = 15750.2924423021m²